# Intégration numérique

## Intégration numérique

Ce document présente quelques méthodes classiques de calcul numérique d'intégrales. Il est destiné ŕ des étudiants de licence.

Vous trouverez ici le fichier pdf de ce document docintegnum.pdf

## I Introduction

Intégration numérique → I Introduction

## I-1 Problčme étudié

Intégration numériqueI Introduction → I-1 Problčme étudié
Soit une fonction $f:\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]⟶ℝ$ intégrable. Nous nous intéressons au calcul de son intégrale sur $\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]$:
$I\left(f\right)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}.$
Dans ce chapitre on présente la théorie des quelques méthodes classiques de calcul numérique de $I\left(f\right)$. Ces méthodes sont appelées méthodes de quadrature . Pour chaque méthode, on s'intéresse ŕ son ordre, ŕ l'étude de sa convergence et ŕ l'étude de son erreur de convergence. On développe aussi quelques idées nécessaires ŕ l'écriture d'un programme numérique pour le calcul de $I\left(f\right)$.

## I-2 Notations et définitions

Intégration numériqueI Introduction → I-2 Notations et définitions
Soit $\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}f:\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]⟶ℝ\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}$ bornée et soit
$\sigma =\left\{a={x}_{0}<{x}_{1}<\cdots <{x}_{n}=b\right\}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}$
une subdivision de $\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}$ de pas
$\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mid \sigma \mid =\underset{0\le i\le n}{\mathrm{sup}}\mid {x}_{i+1}-{x}_{i}\mid$
On pose:
$\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{m}_{i}=\underset{x\in \right]{x}_{i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{i+1}\left[}{\mathrm{inf}}f\left(x\right),\phantom{\rule{1em}{0ex}}{M}_{i}=\underset{x\in \right]{x}_{i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{i+1}\left[}{\mathrm{sup}}f\left(x\right)$
${s}_{\sigma }\left(f\right)=\sum _{i=0}^{n-1}\left({x}_{i+1}-{x}_{i}\right){m}_{i},\phantom{\rule{1em}{0ex}}{S}_{\sigma }\left(f\right)=\sum _{i=0}^{n-1}\left({x}_{i+1}-{x}_{i}\right){M}_{i}$
${I}_{+}\left(f\right)=\underset{\sigma }{\mathrm{inf}}{S}_{\sigma }\left(f\right),\phantom{\rule{1em}{0ex}}{I}_{-}\left(f\right)=\underset{\sigma }{\mathrm{sup}}{s}_{\sigma }\left(f\right)$

## Définition [Intégrale de Riemann]

La fonction $f$ est dite Riemann intégrable si ${I}_{+}\left(f\right)={I}_{-}\left(f\right)$. Dans ce cas, on note $I\left(f\right)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}$ le réel ${I}_{+}\left(f\right)={I}_{-}\left(f\right)$ et on l'appelle l'intégrale de Riemann associée ŕ $f$.

## Remarque

1. Toute fonction continue par morceaux est Riemann intégrable.
2. Toute fonction monotone est Riemann intégrable.

## I-3 Résultats fondamentaux

Intégration numériqueI Introduction → I-3 Résultats fondamentaux

## Proposition

Si $f:\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]⟶ℝ$ est Riemann intégrable, alors
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}=\underset{\mid \sigma \mid ⟶0}{\mathrm{lim}}{S}_{\sigma }\left(f\right)=\underset{\mid \sigma \mid ⟶0}{\mathrm{lim}}{s}_{\sigma }\left(f\right)$
ou d'une maničre équivalente
$\forall \epsilon >0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\exists \eta >0\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{tq}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\forall \sigma ,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mid \sigma \mid <\eta ⟹\begin{array}{ccc}\mid I\left(f\right)-{S}_{\sigma }\left(f\right)\mid & \le & \epsilon \\ \mid I\left(f\right)-{s}_{\sigma }\left(f\right)\mid & \le & \epsilon \end{array}$

## Remarque

Si $f:\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]⟶ℝ\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}$ est continue alors
$\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\underset{x\in \right]{x}_{i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{i+1}\left[}{\mathrm{inf}}f\left(x\right)=\underset{x\in \left[{x}_{i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{i+1}\right]}{\mathrm{inf}}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{et}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\underset{x\in \right]{x}_{i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{i+1}\left[}{\mathrm{sup}}f\left(x\right)=\underset{x\in \left[{x}_{i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{i+1}\right]}{\mathrm{sup}}f\left(x\right)$

## Théorčme

Si $f:\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]⟶ℝ\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}$ est continue alors
$\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}=\underset{n⟶+\infty }{\mathrm{lim}}\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{m}_{i}=\underset{n⟶+\infty }{\mathrm{lim}}\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{M}_{i}$
et d'une façon plus générale
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}=\underset{n⟶+\infty }{\mathrm{lim}}\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f\left({c}_{i}\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{avec}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{c}_{i}\in \left[{x}_{i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{i+1}\right]$

## II Formules de quadrature et leur ordre

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre

## II-1 Idée de base

La plupart des algorithmes numériques procčdent comme suit : on subdivise l'intervalle $\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]$ en plusieurs sous-intervalles $\sigma =\left\{a={x}_{0}<{x}_{1}<\cdots <{x}_{n}=b\right\}$ et on utilise le fait que
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}=\sum _{i=0}^{n-1}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{{x}_{i}}^{{x}_{i+1}}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}$
De cette maničre, on est amené au calcul de plusieurs intégrales pour lesquelles la longueur de l'intervalle d'intégration est relativement petite. Prenons une de ces intégrales, notons ${h}_{i}={x}_{i+1}-{x}_{i}$ la longueur de l'intervalle et $g\left(t\right)=f\left({x}_{i}+t{h}_{i}\right)$. Un changement de variable nous donne alors:
$\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{{x}_{i}}^{{x}_{i+1}}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}={h}_{i}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}$ Il reste alors ŕ calculer une approximation de
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}$

## II-2 Méthode des rectangles ŕ gauche

Intégration numériqueII Formules de quadrature et leur ordre → II-2 Méthode des rectangles ŕ gauche
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}\approx g\left(0\right)$ L'aire du domaine limité par les droites $x=0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}x=1$, l'axe $\mathrm{Ox}$ et ${𝒞}_{g}$ est approchée par l'aire du rectangle de base $\left[0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$
Exercice
Méthode du rectangle

## II-3 Méthode des rectangles ŕ droite

Intégration numériqueII Formules de quadrature et leur ordre → II-3 Méthode des rectangles ŕ droite
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}\approx g\left(1\right)$ L'aire du domaine limité par les droites $x=0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}x=1$, l'axe $\mathrm{Ox}$ et ${𝒞}_{g}$ est approchée par l'aire du rectangle de base $\left[0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$

## II-4 Méthode du point milieu

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}\approx g\left(1/2\right)$ L'aire du domaine limité par les droites $x=0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}x=1$, l'axe $\mathrm{Ox}$ et ${𝒞}_{g}$ est approchée par l'aire du rectangle de base $\left[0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$
Exercice
Méthode du point milieu

## II-5 Méthode du trapčze

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}\approx 1/2\left(g\left(0\right)+g\left(1\right)\right)$ L'aire du domaine limité par les droites $x=0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}x=1$, l'axe $\mathrm{Ox}$ et ${𝒞}_{g}$ est approchée par l'aire du trapčze de base $\left[0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$

## II-6 Méthode de Simpson

Traçons la parabole passant par les trois points $\left(0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}g\left(0\right)\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(1/2,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}g\left(1/2\right)\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}g\left(1\right)\right)$. En approchant l'intégrale par l'aire sous la parabole, on obtient la formule de Simpson :
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}\approx 1/6\left(g\left(0\right)+4g\left(1/2\right)+g\left(1\right)\right)$ L'aire du domaine limité par les droites $x=0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}x=1$, l'axe $\mathrm{Ox}$ et ${𝒞}_{g}$ est approchée par l'aire grisée.

## II-7 Méthode de Newton-Cotes

On peut généraliser la méthode de Simpson en approchant l'intégrale par l'aire sous un polynôme de degré $s-1$ passant par les $s$ points équidistants
$\left(\left(\frac{i}{s-1},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}g\left(\frac{i}{s-1}\right)\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}i=0,\cdots ,s-1\right),$
on obtient des formules de quadrature appelées formules de Newton-Cotes données par la définition.

## Définition

Une formule de quadrature est dite de Newton-Cotes ŕ $s$ étages si elle est de la forme:
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}\approx \sum _{i=1}^{s}{b}_{i}g\left({c}_{i}\right).$
Les ${c}_{i}$ sont les noeuds de la formule de quadrature et les ${b}_{i}$ sont les poids .

## Définition

On dit que l'ordre ordre d'une formule de quadrature de la formule de quadrature est $p$ si elle est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal ŕ $p-1$, c'est-ŕ-dire: pour $g$ polynôme de degré $\le p-1$,
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\mathrm{dt}=\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}g\left({c}_{i}\right)$

On voit que les formules du point milieu et des trapčzes sont d'ordre 2. La formule de Newton-Cotes ŕ $s$ étages a un ordre $p$ supérieur ou égal ŕ $s$.
Le tableau suivant résume l'ordre ainsi que les poids des différentes méthodes de quadrature pour $s\le 7.$
Tableau
 s ordre ${b}_{1}$ ${b}_{2}$ ${b}_{3}$ ${b}_{4}$ ${b}_{5}$ ${b}_{6}$ ${b}_{7}$ nom 1 1 1 rectangle 1 2 1 pt. milieu 2 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ trapčze 3 4 $\frac{1}{6}$ $\frac{4}{6}$ $\frac{1}{6}$ Simpson 4 4 $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$ Newton 5 6 $\frac{7}{90}$ $\frac{32}{90}$ $\frac{12}{90}$ $\frac{32}{90}$ $\frac{7}{90}$ Boole 6 6 $\frac{19}{288}$ $\frac{75}{288}$ $\frac{50}{288}$ $\frac{50}{288}$ $\frac{75}{288}$ $\frac{19}{288}$ Boole 7 8 $\frac{41}{840}$ $\frac{216}{840}$ $\frac{27}{840}$ $\frac{272}{840}$ $\frac{27}{840}$ $\frac{216}{840}$ $\frac{41}{840}$ Weddle

Exercice
Ordre d'une méthode de quadrature

## II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

Intégration numériqueII Formules de quadrature et leur ordreII-8 Ordre → II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

## Théorčme

La formule de quadrature est d'ordre $p$ si et seulement si:
$\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}{c}_{i}^{q-1}=\frac{1}{q},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{pour}q=1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\cdots ,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}p$

Preuve
La nécessité de l'équivalence ) est une conséquence de la formule ) si l'on pose $g\left(t\right)={t}^{q-1}$. Pour en montrer la suffisance, on utilise le fait qu'un polynôme de degré $p-1$ est une combinaison linéaire de $1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}t,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\cdots ,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{t}^{p-1}$ et que l'intégrale ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}g\left(t\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}$ ainsi que l'expression $\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}g\left({c}_{i}\right)$ sont linéaires en $g$.

## Remarque

1. En fixant les noeuds ${c}_{1},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{c}_{2},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\cdots ,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{c}_{s}$ (distincts), la condition avec $p=s$ représente un systčme linéaire pour ${b}_{1},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{b}_{2},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\cdots ,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{b}_{s}$
$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ & & & \\ {c}_{1}& {c}_{2}& \cdots & {c}_{s}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & & \\ {c}_{1}^{s-1}& {c}_{2}^{s-1}& \cdots & {c}_{s}^{s-1}\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ ⋮\\ {b}_{s}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\\ ⋮\\ \frac{1}{s}\\ \end{array}\right)$

Comme la matrice dans la formule est inversible (matrice de Vandermonde), la résolution de ce systčme nous donne une formule de quadrature d'ordre $p=s$.
2. Si l'on vérifie les conditions pour la formule de Simpson, on fait une observation intéressante: par définition, il est évident que la condition est satisfaite pour $q=1$, $2$, $3$, mais on remarque qu'elle est aussi satisfaite pour $q=4$. En effet:
$\begin{array}{c}\frac{1}{6}{0}^{3}+\frac{4}{6}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3}+\frac{1}{6}{1}^{3}=\frac{1}{4}\\ \frac{1}{6}{0}^{4}+\frac{4}{6}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{4}+\frac{1}{6}{1}^{4}=\frac{5}{24}\ne \frac{1}{5}.\end{array}$
Elle est donc d'ordre 4. Par conséquent, elle n'est pas seulement exacte pour les polynômes de degré 2 mais aussi pour les polynômes de degré 3. Ceci est est une propriété qui peut ętre généralisée aux formules de quadrature symétriques (c'est-ŕ-dire ${c}_{i}=1-{c}_{s+1-i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{b}_{i}={b}_{s+1-i},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\forall \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\le i\le s$). Coefficients et noeuds d'une formule de quadrature symétrique

## Théorčme

Une formule de quadrature symétrique a toujours un ordre pair: si elle est exacte pour les polynômes de degré $\le \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}2m-2$, elle est exacte pour les polynômes de degré $\le \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}2m-1$.

Preuve
Chaque polynôme $g\left(t\right)$ de degré $\le \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}2m-1$ peut ętre écrit sous la forme
$g\left(t\right)=c\left(t-\frac{1}{2}{\right)}^{2m-1}+h\left(t\right)$
$h\left(t\right)$ est un polynôme de degré $\le \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}2m-2$ et oů $c$ est une constante. Il suffit alors de montrer que la formule symétrique est exacte pour $\left(t-\frac{1}{2}{\right)}^{2m-1}$. A cause de la symétrie de cette fonction, la valeur exacte vaut
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\left(t-\frac{1}{2}{\right)}^{2m-1}\mathrm{dt}=0$
Pour une formule de quadrature symétrique on a
${b}_{i}\left({c}_{i}-\frac{1}{2}{\right)}^{2m-1}+{b}_{s+1-i}\left({c}_{s+1-i}-\frac{1}{2}{\right)}^{2m-1}=0$ Donc l'approximation numérique de ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\left(t-\frac{1}{2}{\right)}^{2m-1}\mathrm{dt}$ est également nulle.

## III Mise en oeuvre sur Matlab

Intégration numérique → III Mise en oeuvre sur Matlab

## III-1 Notations

Ici nous allons exécuter sur Matlab quelques méthodes de quadrature classiques pour approcher la valeur de l'intégrale
${I}_{\mathrm{exa}}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{1}^{2}\frac{1}{t}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}=\mathrm{log}\left(2\right)$
avec une subdivision de l'intervalle $\left[1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}2\right]$ correspondante ŕ
${\alpha }_{i}=1+\frac{1}{N}i;\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}0\le i\le N\text{et}N=4.$

## III-2 Méthode des rectangles ŕ gauche

Intégration numériqueIII Mise en oeuvre sur Matlab → III-2 Méthode des rectangles ŕ gauche
On note ${I}_{\mathrm{rg}}$ l'approximation de ${I}_{\mathrm{exa}}$ par la méthode des rectangles ŕ gauche et ${E}_{\mathrm{rg}}$ l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule ${I}_{\mathrm{rg}}$ et ${E}_{\mathrm{rg}}$:
Code Matlab
```%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg = 0.0;
for i = 1:N
Irg = Irg + h*f(x(i));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg
Erg = abs(Iexa - Irg)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
```

Les résultats obtenus par ce programme sont:
```Irg = 7.595238095e-01
Erg = 6.637662896e-02
```

## III-3 Méthode des trapčzes

Intégration numériqueIII Mise en oeuvre sur Matlab → III-3 Méthode des trapčzes
On note ${I}_{\mathrm{tr}}$ l'approximation de ${I}_{\mathrm{exa}}$ par la méthode des trapčzes et ${E}_{\mathrm{tr}}$ l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule ${I}_{\mathrm{tr}}$ et ${E}_{\mathrm{tr}}$:
Code Matlab
```%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr = 0.0;
for i = 1:N
Itr = Itr + h*(0.5*f(x(i)) + 0.5*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr
Etr = abs(Iexa - Itr)
```

Les résultats obtenus par ce programme sont:
```Itr = 6.970238095e-01
Etr = 3.876628964e-03
```

## III-4 Méthode de Simpson

Intégration numériqueIII Mise en oeuvre sur Matlab → III-4 Méthode de Simpson
On note ${I}_{\mathrm{si}}$ l'approximation de ${I}_{\mathrm{exa}}$ par la méthode de Simpson et ${E}_{\mathrm{si}}$ l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule ${I}_{\mathrm{si}}$ et ${E}_{\mathrm{si}}$:
Code Matlab
```%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi+h*(1/6*f(x(i))+2/3*f((x(i)+x(i+1))/2)+1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi
Es = abs(Iexa - Isi)
```

Les résultats obtenus par ce programme sont:
```Isi = 6.931545307e-01
Esi = 7.350094585e-06
```

## III-5 Commentaires des résultats

Intégration numériqueIII Mise en oeuvre sur Matlab → III-5 Commentaires des résultats
On voit bien que l'erreur absolue obtenue par la méthode de Simpson est beaucoup plus faible que celles obtenues par les deux autres. Ceci confirme la rčgle: plus l'ordre de la méthode est grand, plus la précision est bonne .

## IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
Pour étudier l'erreur commise en approchant une intégrale par l'une des formules de quadrature, nous commençons par une expérience numérique :

## IV-1-1 Nombre d'évaluation

Prenons une fonction $f$ définie sur $\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]$, subdivisons l'intervalle en plusieurs sous-intervalles équidistants ( $h=\frac{b-a}{N}$) et appliquons l'une des formules de quadrature du paragraphe précédent. Ensuite, étudions l'erreur (en échelle logarithmique),
$\begin{array}{ccc}E\left(f\right)& =& {\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-\sum _{j=0}^{N-1}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{{x}_{j}}^{{x}_{j+1}}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\\ & & \\ & =& {\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-\sum _{j=0}^{N-1}h{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}f\left({x}_{j}+th\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}\\ & & \\ & =& {\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-\sum _{j=0}^{N-1}h\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}f\left({x}_{j}+{c}_{i}h\right),\end{array}$
en fonction du nombre d'évaluations ${f}_{e}$ de la fonction $f$ pour Newton-Cotes : ${f}_{e}$ est défini par:
${f}_{e}=N\left(s-1\right)+1$
Le nombre ${f}_{e}$ repésente une mesure pour le travail effectué par l'ordinateur.

## IV-1-2 Exemple

Voici les résultats obtenus par les formules de Newton-Cotes (trapčzes, Simpson, Boole) pour l'int'grale
${I}_{\mathrm{exa}}=\mathrm{sin}\left(2\right)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{2}\mathrm{cos}\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}$
et $N=1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}2,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}4,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}8,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}16,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\cdots$
Code Matlab
```clear all;
Iexa = sin(2);
alpha = 0;
beta = 2;
f = inline('cos(x)','x');
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode des trapčzes
%--------------------------
%--------------------------
s = 2;
for j = 1:1:10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
fetr(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr=0.0;
for i = 1:N
Itr = Itr + h*(1/2*f(x(i)) + 1/2*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Etr(j) = log10(abs(Iexa - Itr)) ;
end
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode de Simpson
%--------------------------
%--------------------------
s = 3;
for j=1:1:10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
fesi(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi+h*(1/6*f(x(i))+2/3*f((x(i)+x(i+1))/2)+1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Esi(j) = log10(abs(Iexa - Isi)) ;
end
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode de Boole (s=6)
%--------------------------
%--------------------------
s = 6;
for j = 1:1:8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
febo(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ibo = 0.0;
for i = 1:N
Ibo = Ibo + h*(19/288*f(x(i)) + 75/288*f(x(i)+h/5) +
50/288*f(x(i)+(2*h/5)) + 50/288*f(x(i)+ (3*h/5)) +
75/288*f(x(i)+ (4*h/5)) + 19/288*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ebo(j) = log10(abs(Iexa - Ibo)) ;
plot(fetr, Etr, 'k-.', fesi, Esi, 'k-+', febo, Ebo, 'k-*')
legend('Trapčzes', 'Simpson', 'Boole (s=6)')
xlabel('log10(Erreur)');
ylabel('log10(fe)');
title('Le travail fe en fonction de l''erreur');
end
```

La figure ci-dessous montre donne les résultats pour $N=1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}2,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}4,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}8,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}16.$ ## IV-1-3 Interprétation des résultats

Nous constatons que:
1. ${\mathrm{log}}_{10}\left({f}_{e}\right)$ dépend linéairement du nombre de chiffres exacts, donné par $-{\mathrm{log}}_{10}\left(E\left(\mathrm{cos}\right)\right)$.
2. La pente de chaque droite est $\frac{1}{p}$$p$ est l'ordre de la méthode de quadrature.
3. Pour un travail équivalent (męme ${f}_{e}$), les formules avec un ordre élevé ont une meilleure précision.

## IV-1-4 Justification des résultats

Etudions d'abord l'erreur faite sur un sous-intervalle de longueur $h$.
$\begin{array}{ccc}E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)& =& {\begin{array}{c}\int \end{array}}_{{x}_{0}}^{{x}_{0}+h}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-h\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}f\left({x}_{0}+{c}_{i}h\right)\\ & & \\ & =& h\left({\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}f\left({x}_{0}+th\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}-\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}f\left({x}_{0}+{c}_{i}h\right)\right).\end{array}$

On considčre la formule de quadrature d'ordre $p$. En supposant que $f$ est suffisament différentiable, on peut remplacer $f\left({x}_{0}+th\right)$ et $f\left({x}_{0}+{c}_{i}h\right)$ par les séries de Taylor au voisinage de ${x}_{0}$:
$\begin{array}{ccc}E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)& =& \sum _{q\ge 0}\frac{{h}^{q+1}}{q!}\left({\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}{t}^{q}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}-\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}{c}_{i}^{q}\right){f}^{\left(q\right)}\left({x}_{0}\right)\\ & & \\ & =& \frac{{h}^{p+1}}{p!}\left(\frac{1}{p+1}-\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}{c}_{i}^{p}\right){f}^{\left(p\right)}\left({x}_{0}\right)+𝒪\left({h}^{p+2}\right)\end{array}$
La constante définie par
$C=\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}-\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}{c}_{i}^{p}\right)$

s'appelle constante de l'erreur. Si on suppose que $h$ est assez petit pour négliger $𝒪\left({h}^{p+2}\right)$ devant $C{h}^{p+1}$, on obtient:
$\begin{array}{ccc}E\left(f\right)& =& \sum _{j=0}^{N-1}E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{j},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)\approx {\mathrm{Ch}}^{p}\sum _{j=0}^{N-1}h{f}^{\left(p\right)}\left({x}_{j}\right)\approx {\mathrm{Ch}}^{p}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}{f}^{\left(p\right)}\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\\ & & \\ & =& {\mathrm{Ch}}^{p}\left({f}^{\left(p-1\right)}\left(b\right)-{f}^{\left(p-1\right)}\left(a\right)\right)\phantom{\rule{1em}{0ex}}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\end{array}$
Cette formule nous permet de mieux comprendre les résultats de la figure précédente. En effet, on peut écrire $E\left(f\right)\approx {C}_{1}{h}^{p}$ et $\mathrm{fe}\approx \frac{{C}_{2}}{h}$. Par conséquent,
$-{\mathrm{log}}_{10}\left(E\left(f\right)\right)\approx -{\mathrm{log}}_{10}\left({C}_{1}\right)-p{\mathrm{log}}_{10}\left(h\right)\approx \mathrm{Constante}+p{\mathrm{log}}_{10}\left(\mathrm{fe}\right).$
Ceci montre la dépendance linéaire entre ${\mathrm{log}}_{10}\left(\mathrm{fe}\right)$ et ${\mathrm{log}}_{10}\left(E\left(f\right)\right)$ et le fait que la pente soit de $\frac{1}{p}$.

## IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur

Intégration numériqueIV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur

## IV-2-1 Noyau de Peano

Dans ce paragraphe on s'occupe de l'estimation exacte de l'erreur d'une formule de quadrature en vue de démontrer les théorčmes de convergence et assurer une certaine précision du résultat numérique.

## Théorčme [et Définition]

Soit une formule de quadrature d'ordre $p$ et un entier $k$ vérifiant $k\le p$. Considérons une fonction $f:\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left[{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0}+h\right]⟶ℝ$ de classe ${𝒞}^{k}$, alors l'erreur $E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)$ définie par la formule vérifie:
$E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)={h}^{k+1}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}{N}_{k}\left(s\right){f}^{\left(k\right)}\left({x}_{0}+s\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}$
${N}_{k}$ est le noyau de Peano , défini par:
${N}_{k}\left(s\right)=\frac{\left(1-s{\right)}^{k}}{k!}-\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}\frac{\left({c}_{i}-s{\right)}_{+}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{oů}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{r}_{+}^{k-1}=\left\{\begin{array}{ccc}{r}^{k-1}& \mathrm{si}& r>0\\ & & \\ 0& \mathrm{si}& r\le 0\end{array}$

Preuve
La formule de Taylor avec reste intégral appliquée ŕ $f$ au point ${x}_{0}$ donne:
$f\left({x}_{0}+t\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)=\sum _{j=0}^{k-1}\frac{\left(t\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h{\right)}^{j}}{j!}{f}^{\left(j\right)}\left({x}_{0}\right)+{h}^{k}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{t}\frac{\left(t-s{\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}{f}^{\left(k\right)}\left({x}_{0}+s\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}$
En combinant cette derničre formule avec la formule et en utilisant le fait que
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{t}\left(t-s{\right)}^{k-1}g\left(s\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\left(t-s{\right)}_{+}^{k-1}g\left(s\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}$
et en remarquant que la partie polynomiale dans l'avant-derničre équation ne contribue pas ŕ l'erreur (ŕ cause que $p\ge k$), nous obtenons:
$E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)={h}^{k+1}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\left({\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\frac{\left(t-s{\right)}_{+}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}-\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}\frac{\left({c}_{i}-s{\right)}_{+}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\right){f}^{\left(k\right)}\left({x}_{0}+s\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}.$
Une évaluation de l'intégrale intérieure donne le résultat.

## Remarque

Pour une formule de quadrature d'ordre $p$ et un entier $k$ vérifiant $1\le k\le p$ on a:
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}{N}_{p}\left(s\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}=\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}-\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}{c}_{i}^{p}\right)=C$
$C$ est la constante de l'erreur définie par la formule .

Exemple
Les noyaux de Peano pour la méthode du point milieu sont donnés par:
${N}_{1}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-s& \mathrm{si}& s<\frac{1}{2}\\ & & \\ 1-s& \mathrm{si}& s\ge \frac{1}{2}\end{array}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{N}_{2}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{{s}^{2}}{2}& \mathrm{si}& s\le \frac{1}{2}\\ & & \\ \frac{\left(1-s{\right)}^{2}}{2}& \mathrm{si}& s\ge \frac{1}{2}\end{array}$

## IV-2-2 Majoration de l'erreur

Nous sommes maintenant en mesure d'estimer l'erreur commise pour l'intervalle $\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]$ tout entier et ceci pour une subdivision arbitraire ${h}_{j}={x}_{j+1}-{x}_{j}$. Rappelons que, comme dans la formule , l'erreur est donnée par:
$E\left(f\right)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{a}^{b}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-\sum _{j=0}^{N-1}{h}_{j}\sum _{i=1}^{s}{b}_{i}f\left({x}_{j}+{c}_{i}{h}_{j}\right).$
On a alors le théorčme suivant:

## Théorčme

Soit une formule de quadrature d'ordre $p$ et un entier $k$ vérifiant $k\le p$. Considérons une fonction $f:\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]⟶ℝ$ de classe ${𝒞}^{k}$. Alors l'erreur $E\left(f\right)$ définie par la formule vérifie l'estimation suivante:
$\mid E\left(f\right)\mid \le {h}^{k}\left(b-a\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mid {N}_{k}\left(s\right)\mid \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}{\mathrm{max}}_{x\in \left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]}\mid {f}^{\left(k\right)}\left(x\right)\mid$

$h=\underset{j}{\mathrm{max}}\left({h}_{j}\right)$.

Preuve
La formule donne:
$\begin{array}{ccc}E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)& \le & {h}^{k+1}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mid {N}_{k}\left(s\right)\mid \mid {f}^{\left(k\right)}\left({x}_{0}+s\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}h\right)\mid \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}\\ & & \\ & \le & {h}^{k+1}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mid {N}_{k}\left(s\right)\mid \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}\underset{x\in \left[{x}_{0},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{0}+h\right]}{\mathrm{max}}\mid {f}^{\left(k\right)}\left(x\right)\mid .\end{array}$
Comme l'erreur est la somme des erreurs sur les sous-intervalles de la subdivision, nous obtenons:
$\begin{array}{ccc}\mid E\left(f\right)\mid \le \sum _{j=0}^{N-1}\mid E\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{j},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{h}_{j}\right)\mid & \le & \sum _{j=0}^{N-1}{h}_{j}^{k+1}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mid {N}_{k}\left(s\right)\mid \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}\underset{x\in \left[{x}_{j},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{j+1}\right]}{\mathrm{max}}\mid {f}^{\left(k\right)}\left(x\right)\mid \\ & & \\ & \le & \sum _{j=0}^{N-1}{h}^{k}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{h}_{j}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mid {N}_{k}\left(s\right)\mid \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}\underset{x\in \left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]}{\mathrm{max}}\mid {f}^{\left(k\right)}\left(x\right)\mid \end{array}$
et puisque $\sum _{j=0}^{N-1}{h}_{j}=b-a$, on obtient l'équation .

Exemple
Pour la formule du point milieu, on a:
$\mid E\left(f\right)\mid \le {h}^{2}\left(b-a\right)\frac{1}{24}\underset{x\in \left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]}{\mathrm{max}}\mid {f}^{″}\left(x\right)\mid .$
Pour la formule des trapčzes:
$\mid E\left(f\right)\mid \le {h}^{2}\left(b-a\right)\frac{1}{12}\underset{x\in \left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]}{\mathrm{max}}\mid {f}^{″}\left(x\right)\mid .$
Pour la formule de Simpson:
$\mid E\left(f\right)\mid \le {h}^{4}\left(b-a\right)\frac{1}{2880}\underset{x\in \left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]}{\mathrm{max}}\mid {f}^{\left(4\right)}\left(x\right)\mid .$
Pour la formule de Newton-Cotes ( $s=5$):
$\mid E\left(f\right)\mid \le {h}^{6}\left(b-a\right)\frac{1}{1935360}\underset{x\in \left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]}{\mathrm{max}}\mid {f}^{\left(6\right)}\left(x\right)\mid .$

## Remarque

Le calcul de ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mid {N}_{p}\left(s\right)\mid \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}$ pour ces formules n'est pas difficile. Considérons par exemple la formule de Newton-Cotes avec $s=5$. Nous constatons que ${N}_{6}\left(s\right)$ ne change pas de signe sur $\left[0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$ et en utilisant la remarque , nous obtenons:
$\begin{array}{ccc}{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mid {N}_{6}\left(s\right)\mid \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}& =& {\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}{N}_{6}\left(s\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{ds}\\ & & \\ & =& \frac{1}{6!}\mid \frac{1}{7}-\left(\frac{32}{90}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{6}+\frac{12}{90}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{6}+\frac{32}{90}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{6}+\frac{7}{90}{1}^{6}\right)\mid \\ & & \\ & =& \frac{1}{1935360}.\end{array}$

Exercice
Noyau de Peano

## V Exemples de calcul numérique de l'ordre

Intégration numérique → V Exemples de calcul numérique de l'ordre

## V-1 Préliminaires

Ici nous allons vérifier ŕ l'aide de Matlab l'ordre de quelques méthodes de quadrature déjŕ étudiées précédemment pour approcher la valeur de l'intégrale
${I}_{\mathrm{exa}}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\alpha }^{\beta }f\left(t\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dt}$
avec
$f\left(t\right)=\frac{1}{t},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\alpha =1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\beta =2$
et une subdivision de plus en plus fine de l'intervalle $\left[\alpha ,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\beta \right]$ correspondante ŕ
${\alpha }_{i}=\alpha +\frac{\alpha -\beta }{N}i;\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}0\le i\le N,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{et}N={2}^{j};\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\le j\le 20.$

## V-2 Méthode des rectangles ŕ gauche

Intégration numériqueV Exemples de calcul numérique de l'ordre → V-2 Méthode des rectangles ŕ gauche
On note ${I}_{\mathrm{rg}}$ l'approximation de ${I}_{\mathrm{exa}}$ par la méthode des rectangles ŕ gauche et ${E}_{\mathrm{rg}}$ l'erreur commise. On affiche les valeurs de $j$, ${I}_{\mathrm{rg}}$, ${E}_{\mathrm{rg}}$, ${E}_{\mathrm{rg}}/h$, et ${E}_{\mathrm{rg}}/{h}^{2}$. Code Matlab
```clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %10d  %20.9e     %20.9e   %20.9e     %20.9e \n';
for j = 1:2:17
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg = 0.0;
for i = 1:N
Irg = Irg + h*f(x(i));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Irg
Erg = abs(Iexa - Irg) ;
Erg1 = abs(Iexa - Irg)/h ;
Erg2 = abs(Iexa - Irg)/h^2 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Irg, Erg, Erg1, Erg2);
end
```

Les résultats obtenus par ce programme sont:
```j         Irg              Erg               Erg/h           Erg/h^21    8.333333333e-01   1.401861528e-01   2.803723055e-01  5.607446111e-01
3    7.253718504e-01   3.222466981e-02   2.577973585e-01  2.062378868e+00
5    7.010207083e-01   7.873527709e-03   2.519528867e-01  8.062492374e+00
7    6.951041202e-01   1.956939668e-03   2.504882775e-01  3.206249952e+01
9    6.936357002e-01   4.885196685e-04   2.501220703e-01  1.280625000e+02
11   6.932692658e-01   1.220852137e-04   2.500305176e-01  5.120625000e+02
13   6.931776991e-01   3.051850945e-05   2.500076294e-01  2.048062500e+03
15   6.931548100e-01   7.629452736e-06   2.500019072e-01  8.192062496e+03
17   6.931490879e-01   1.907352286e-06   2.500004788e-01  3.276806276e+04
```

Commentaires:
On constate que ${E}_{\mathrm{rg}}/h$ se stabilise autour de 2.5e-01 alors que ${E}_{\mathrm{rg}}/{h}^{2}$ explose au fur et ŕ mesure que $j$ augmente (les subdivisions de plus en plus fines). Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 1.

## V-3 Méthode des trapčzes

On note ${I}_{\mathrm{tr}}$ l'approximation de ${I}_{\mathrm{exa}}$ par la méthode des trapčzes et ${E}_{\mathrm{tr}}$ l'erreur commise. On affiche les valeurs de $j$, ${I}_{\mathrm{tr}}$, ${E}_{\mathrm{tr}}$, ${E}_{\mathrm{tr}}/h$, ${E}_{\mathrm{tr}}/{h}^{2}$, et ${E}_{\mathrm{tr}}/{h}^{3}$.

Code Matlab
```clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %10d  %12.9e     %12.9e   %12.9e   %12.9e     %12.9e \n';
for j = 1:2:17
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr = 0.0;
for i = 1:N
Itr = Itr + h*(0.5*f(x(i)) + 0.5*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Etr = abs(Iexa - Itr) ;
Etr1 = abs(Iexa - Itr)/h ;
Etr2 = abs(Iexa - Itr)/h^2 ;
Etr3 = abs(Iexa - Itr)/h^3 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Itr, Etr, Etr1 , Etr2, Etr3);
end
```

Les résultats obtenus par ce programme sont:
```j       Itr            Etr            Etr/h         Etr/h^2      Etr/h^31    7.08333e-01    1.51862e-02    3.03723e-02    6.07446e-02   1.21489e-01
3    6.94122e-01    9.74670e-04    7.79736e-03    6.23789e-02   4.99031e-01
5    6.93208e-01    6.10277e-05    1.95289e-03    6.24924e-02   1.99976e+00
7    6.93151e-01    3.81467e-06    4.88278e-04    6.24995e-02   7.99994e+00
9    6.93147e-01    2.38418e-07    1.22070e-04    6.25000e-02   3.20000e+01
11   6.93147e-01    1.49012e-08    3.05176e-05    6.25000e-02   1.28000e+02
13   6.93147e-01    9.31321e-10    7.62938e-06    6.24999e-02   5.11999e+02
15   6.93147e-01    5.82108e-11    1.90745e-06    6.25033e-02   2.04811e+03
17   6.93147e-01    3.63654e-12    4.76648e-07    6.24752e-02   8.18875e+03
```

Commentaires:
On constate que ${E}_{\mathrm{tr}}/{h}^{2}$ se stabilise autour de 6.25e-02 alors que ${E}_{\mathrm{rg}}/{h}^{3}$ explose au fur et ŕ mesure que $j$ augmente. Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 2.

## V-4 Méthode de Simpson

On note ${I}_{\mathrm{si}}$ l'approximation de ${I}_{\mathrm{exa}}$ par la méthode de Simpson et ${E}_{\mathrm{si}}$ l'erreur commise. On affiche les valeurs de $j$, ${I}_{\mathrm{si}}$, ${E}_{\mathrm{si}}$, ${E}_{\mathrm{si}}/{h}^{3}$, ${E}_{\mathrm{si}}/{h}^{4}$, et ${E}_{\mathrm{si}}/{h}^{5}$.
Code Matlab
```clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %3d  %12.5e  %12.5e  %12.5e  %12.5e  %12.5e \n';
for j = 1:1:10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi + h*(1/6*f(x(i)) + 2/3*f((x(i) + x(i+1))/2) + 1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Esi = abs(Iexa - Isi) ;
Esi3 = abs(Iexa - Isi)/h^3 ;
Esi4 = abs(Iexa - Isi)/h^4 ;
Esi5 = abs(Iexa - Isi)/h^5 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Isi, Esi, Esi3 , Esi4, Esi5);
end
```

Les résultats obtenus par ce programme sont:
```j       Isi           Esi          Esi/h^3       Esi/h^4      Esi/h^51    6.93254e-01   1.06788e-04   8.54302e-04   1.70860e-03   3.41721e-03
2    6.93155e-01   7.35009e-06   4.70406e-04   1.88162e-03   7.52650e-03
3    6.93148e-01   4.72259e-07   2.41797e-04   1.93437e-03   1.54750e-02
4    6.93147e-01   2.97299e-08   1.21774e-04   1.94838e-03   3.11740e-02
5    6.93147e-01   1.86151e-09   6.09979e-05   1.95193e-03   6.24619e-02
6    6.93147e-01   1.16398e-10   3.05130e-05   1.95283e-03   1.24981e-01
7    6.93147e-01   7.27574e-12   1.52583e-05   1.95307e-03   2.49992e-01
8    6.93147e-01   4.54081e-13   7.61822e-06   1.95026e-03   4.99268e-01
9    6.93147e-01   2.80886e-14   3.76999e-06   1.93024e-03   9.88281e-01
10   6.93147e-01   2.66454e-15   2.86102e-06   2.92969e-03   3.00000e+00
```

Commentaires:
On constate que ${E}_{\mathrm{si}}/{h}^{4}$ se stabilise autour de 1.95e-03 alors que ${E}_{\mathrm{si}}/{h}^{5}$ explose au fur et ŕ mesure que $j$ augmente. Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 4.

## VI Bibliographie

Intégration numérique → VI Bibliographie
1. Philipe G. Ciarlet. Introduction ŕ l'analyse numérique et ŕ l'optimisation . Dunod 1990.
2. Jean-Pierre Demailly. Analyse numérique et équations différentielles . Presses Universitaires de Grenoble, 1996.
3. Ernst Hairer. Introduction ŕ l'analyse numérique . Université de Genčve, section mathématiques, case postale 240. Octobre 2001.

## VII Exercices

Intégration numérique → VII Exercices

Exercice
Soit $f:\left[-1,1\right]⟶ℝ$ une fonction de classe ${𝒞}^{2}$. On considčre la méthode d'intégration numérique approchée donnée par
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\simeq f\left(-w\right)+f\left(w\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{avec}w\in \left[0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$
1. Calculer l'ordre de cette méthode en fonction de $w$.
2. On se place dans le cas oů cette méthode est d'ordre $1$.
1. Calculer le noyau de Peano ${G}_{1}\left(t\right)$ et tracer le graphe de ${G}_{1}$ pour $w=\frac{5}{8}$. Pour quelles valeurs de $w$ le noyau ${G}_{1}$ est-il de signe constant?
2. Montrer que l'erreur $E\left(f\right)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-f\left(-w\right)-f\left(w\right)$ vérifie la majoration
$\mid E\left(f\right)\mid \le C\left(w\right){\sup}_{\xi \in \left[-1,1\right]}\left(\mid f″\left(\xi \right)\mid \right)$
$C\left(w\right)$ est une constante dont on déterminera la valeur optimale
1. lorsque ${G}_{1}$ est de signe constant.
2. lorsque $w=\frac{5}{8}$.

Exercice
On rappelle que par construction, les méthodes de Newton-Cotes sont les formules de quadratures élémentaires de type
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}P\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}=\sum _{i=0}^{n}{\lambda }_{\mathrm{iP}}\left({x}_{i}\right)$
telles que les noeuds ${x}_{0}<{x}_{1}<\cdots <{x}_{n-1}<{x}_{n}$ soient équidistants et centrés dans l'intervalle $\left[0,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$, les ${\lambda }_{i}$ étant choisis de telle façon que ces formules soient exactes pour tout polynôme $P$ de degré inférieur ou égale ŕ $n$. Montrer que si $n$ est pair ces formules sont aussi exactes pour les polynômes de degré $n+1$. (Indication : on pourra remarquer que ${\lambda }_{i}={\lambda }_{n-i}$ et en tirer les conséquences pour les polynômes impairs.)

Exercice
Construire les formules d'intégration numérique suivantes :\
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}\phi \left(s\right)\mathrm{ds}\simeq \phi \left(-1/3\right)+\phi \left(1/3\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}hbox\mathrm{exacte}\mathrm{si}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phi \in {𝒫}_{1};$\
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}\phi \left(s\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\simeq \frac{2}{3}\left(2\phi \left(-1/2\right)-\phi \left(0\right)+2\phi \left(1/2\right)\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}hbox\mathrm{exacte}\mathrm{si}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phi \in {𝒫}_{3};$\
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}\phi \left(s\right)\mathrm{ds}\simeq \frac{1}{12}\left(11\phi \left(-3/5\right)+\phi \left(-1/5\right)+\phi \left(1/5\right)+11\phi \left(3/5\right)\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}hbox\mathrm{exacte}\mathrm{si}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phi \in {𝒫}_{3}$
Déterminer leur noyau de Peano et en déduire l'erreur commise.

Exercice
1. Montrer que
$\frac{1}{{e}^{x}-1}=\frac{{b}_{0}}{x}+{b}_{1}+\frac{{b}_{2}}{2!}x+\cdots +\frac{{b}_{2n}}{\left(2n\right)!}{x}^{2n-1}+o\left({x}^{2n}\right)$
(Indication : appliquer la formule d'Euler-MacLaurin ŕ ${e}^{-x}$ entre $0$ et $1$.)
2. Montrer que si $f\in {𝒞}^{\infty }\left(ℝ\right)$ est une fonction périodique de période $b-a$, alors
$\mid {T}_{h}\left(f\right)-{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\mathrm{af}}^{b}\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\mid \le {C}_{n}\left(f,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right){h}^{n}$
$\forall \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}n\in ℕ$ et oů ${T}_{h}\left(f\right)$ représente l'évaluation de la formule des trapčzes de pas $h$ pour $f$ sur $\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right].$

Exercice
Soient ${x}_{1}$ et ${x}_{2}$ deux points de $\left[-1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\right]$ et ${\lambda }_{1}$ et ${\lambda }_{2}\in ℝ$. On considére la formule d'itégration suivante :
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\approx {\lambda }_{1}f\left({x}_{1}\right)+{\lambda }_{2}f\left({x}_{2}\right)$
Quelles conditions doivent vérifier ${x}_{1},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{2},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{\lambda }_{1}$ et ${\lambda }_{2}$ pour que cette formule soit exacte pour
1. les fonctions constantes?
2. les fonctions affines?
3. les polynômes de degré inférieur ou égale ŕ $2$?

Exercice
On considčre la formule d'intégration suivante :
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\approx \mathrm{kf}\left(\alpha \right)+f\left(\beta \right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(1\right)$
1. Déterminer les valeurs de $k,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\alpha$ et pour que $\left(1\right)$ soit exacte sur ${𝒫}_{2}$.
2. En déduire les valeurs de $k,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\alpha$ et pour que $\left(1\right)$ soit d'ordre le plus élevé possible.
1. Calculer le noyau de Peano dans le cas oů $\left(1\right)$ est d'ordre $3$ et vérifier que ce noyau est une fonction paire.
2. En déduire qu'il existe $\xi \in \right]-1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\left[$ tel que $E\left(f\right)=\frac{1}{135}{f}^{\left(4\right)}\left(\xi \right)$$E\left(f\right)$ est l'erreur d'intégration.
3. Donner la formule d'intégration relative ŕ $\left(1\right)$ sur $\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right].$
4. Estimer l'erreur d'intégration obtenue par la méthode composée associée ŕ $\left(1\right)$ sur $\left[a,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}b\right]$ avec un pas constant $h=\frac{b-a}{n}$.

Exercice
On considére la formule d'intégration suivante :
${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{\pi }f\left(x\right)\mathrm{sin}\left(2x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}\approx {a}_{1}f\left({x}_{1}\right)+{a}_{2}f\left({x}_{2}\right)$
1. Déterminer ${a}_{1},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{a}_{2},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}{x}_{1}$ et ${x}_{2}$ de sorte que cette formule soit exacte sur ${𝒫}_{3}$.
2. Calculer alors l'ordre de cette méthode.

Exercice
1. Soit $f\left(x\right)=\frac{1}{1+{x}^{2}}$. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ unique de degré $2$ vérifiant:
$P\left(0\right)=f\left(0\right),\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}P\left(1\right)=f\left(1\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\text{et}P\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right).$
Déterminer ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}P\left(t\right)\mathrm{dt}$ et la comparer ŕ ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}f\left(t\right)\mathrm{dt}$.
2. On considére ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{0}^{1}\mathrm{sin}\frac{\pi {t}^{2}}{2}\mathrm{dt}$. On veut calculer cette intégrale avec une erreur inférieur ŕ ${10}^{-3}$.
1. Déterminer le pas $h$ nécessaire pour la méthode des trapčzes.
2. Déterminer le pas $h$ nécessaire pour la méthode de Simpson.

Exercice
1. Trouver l'ordre des formule de : rectangle, trapčze et Simpson.
2. Pour $f\in {𝒞}^{4}\left(\left[-1,1\right]\right)$. On pose
$E\left(f\right)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}f\left(x\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-\frac{2}{6}\left[f\left(-1\right)+4f\left(0\right)+f\left(1\right)\right]\phantom{\rule{2em}{0ex}}hbox\mathrm{et}\phantom{\rule{2em}{0ex}}{K}_{3}\left(t\right)=E\left(x⟶\left(x-t{\right)}_{+}^{3}\right)$
Montrer que ${K}_{3}\left(t\right)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{t}^{1}\left(x-t{\right)}^{3}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{dx}-2\left(\frac{2}{3}{t}_{-}^{3}+\frac{1}{6}\left(1-t{\right)}^{3}\right)$.
3. En déduire ${K}_{3}\left(t\right)=-\frac{1}{12}\left(1-\mid t\mid {\right)}^{3}\left(1+\mid t\mid \right)$. Calculer par deux méthodes différentes ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^{1}{K}_{3}\left(t\right)\mathrm{dt}$.
4. Enoncer le thérčme de Peano et montrer que si $f\in {𝒞}^{4}\left(\left[a,b\right]\right)$ alors on a :
$\mid {\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\mathrm{af}}^{b}\left(t\right)\mathrm{dt}-\frac{h}{6}\left(f\left(a\right)+2\sum _{k=1}^{n-1}f\left({a}_{k}\right)+4\sum _{k=0}^{n-1}f\left({a}_{k}+\frac{b-a}{2n}\right)+f\left(b\right)\right)\mid \le$
$\frac{\left(b-a{\right)}^{5}}{2880{n}^{4}}\underset{\left[a,b\right]}{\mathrm{sup}}\mid {f}^{4}\left(t\right)\mid$

document sur quelques méthodes d'intégration numérique (niveau licence).
: numerical_method,integral, CFAI,interactive math, server side interactivity

The most recent version

Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur de web.

Pour accéder aux services de WIMS, vous avez besoin d'un navigateur qui connait les formes. Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent ętre utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.

Description: document sur quelques méthodes d'intégration numérique (niveau licence). interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games, Pôle Formation CFAI-CENTRE

Keywords: CFAI,interactive math, server side interactivity, analysis,numerical_analysis, numerical_method,integral