Inégalités, inéquations

Objectifs

Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse et ce cours a pour but de vous présenter ces techniques et de vous y entraîner. Il fournira une approche de la notion de limite. Il s'agit d'un cours d'approfondissement, notamment en ce qui concerne la difficulté des exercices. Il s'adresse à des étudiants post-bac, ayant une certaine pratique des inégalités.

Pour une approche basique des notions d'inégalités, intervalles et encadrements, on consultera avec le plus grand profit du cours DOC Inégalités, intervalles, inéquations .

Sommaire

A. Inégalités. Encadrements. Inéquations

  1. Encadrements
  2. Bornes d'une partie, d'une expression
  3. Borner une fraction
  4. Techniques d'encadrement
  5. Exercices de déduction d'inégalités simples
  6. Autres exercices classiques
  7. Inéquations : Exercices
  8. Inéquations avec paramètres

B. Implication entre inégalités

  1. Quel est le problème ?
  2. Quelles sont les méthodes ?
  3. Majoration sous condition

C. Applications aux limites.

  1. Limite finie d'une suite
  2. Limite infinie d'une suite
  3. Théorème de comparaison pour les suites
  4. Une définition de limite
  5. Méthode
  6. Un exemple simple
  7. Approche de la définition de la limite
  8. Interprétation

Encadrements

Voici quelques exercices pour tester vos connaissances et votre pratique des inégalités. Si vous rencontrez des difficultés ou que vous manquiez d'assurance, n'hésitez pas à consulter les parties [A], [B] et [C] du cours Activité inconnue .

Exercices. Ces exercices proposent d'encadrer des expressions en x et y connaissant un encadrement des nombres réels x et y.
  1. Encadrement d'une différence
  2. Encadrement de |x|
  3. Encadrement d'un carré
  4. Encadrement d'un produit
  5. Encadrement 1
  6. Encadrement 2
  7. Zone d'inégalité

On rappelle les résultats suivants que l'on cherchera à démontrer pour une meilleure appropriation.

Majoration, minoration des valeurs absolues.
Que se passe-t-il si b est strictement négatif ?

Pour le calcul propositionnel, les ET et OU, consultez cette page .

Bornes d'une partie, d'une expression

Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la page encadrement du cours Activité inconnue .

Définitions. Dans ce cours, on se place dans , ordonné par la relation leq. Soit 𝒫 une partie non vide de .
  1. On dit que 𝒫 est majorée dans s'il existe un réel M, appelé majorant de 𝒫, tel que tous les éléments de 𝒫 sont inférieurs ou égaux à M.
  2. On dit que 𝒫 est minorée dans s'il existe un réel m, appelé minorant de 𝒫 tel que tous les éléments de 𝒫 sont supérieurs ou égaux à m.
  3. On dit que 𝒫 est bornée dans s'il existe deux réels m et M tels que tous les éléments de 𝒫 sont supérieurs à m et inférieurs à M.
Exercice 1. Majoration et union
Exercice 2. On considère l'ensemble A={(1) n+1n 2,n *}. Quels sont les minorants et les majorants de A?

Tous les réels de : [54,+[ sont des majorants de A. Ceux de : ] -,1 ] en sont des minorants.
On notera que 54 appartient à A, mais que -1 n'y appartient pas.

Exercice 3. On considère l'ensemble X={(1p+1q),p,q *}. Quels sont les minorants et les majorants les plus précis de X?

il est facile de voir que X est minoré par 0, et majoré par 2 puisque p et q sont supérieurs ou égaux à 1
Le maximum 2 est atteint pour p=q=1, c'est donc le meilleur possible (et il appartient à X ).
Si on fait tendre p et q vers +, on voit que (1p+1q) tend vers 0, d'aussi près que l'on veut. 0 est donc le meilleur minimum (mais il n'appartient pas à X).

Borner une fraction

Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la page A.5 et les parties B et C du cours Activité inconnue .

On donne une fraction, un rapport du type AB. Il s'agit d'encadrer cette expression en la majorant et la minorant.

Règles.
  1. Pour majorer un rapport ou une fraction positive AB, on peut :
    • Soit majorer son numérateur A.
    • Soit minorer son dénominateur B.
  2. Pour minorer une fraction positive AB, on peut :
    • Soit minorer son numérateur A.
    • Soit majorer son dénominateur B.
  3. Pour encadrer une fraction, il suffit de la majorer en valeur absolue : XYBBXYB

Attention ! Si une fraction est négative, les règles ci-dessus ne s'appliquent pas. On aura tout intérêt à majorer la fraction en valeur absolue, puis à examiner ensuite son signe.

Exemples.

1. Exemple d'encadrement de la fraction 35128: En appliquant ces règles, on peut écrire les inégalités suivantes :

331293412934128 leq 35128 361284212842121

2. Encadrons la fonction Q(x)=sin(x)1+x 2, pour tout x réel. Comme sin(x) n'est pas de signe constant, nous cherchons à majorer Q(x) :

sin(x)1+x 2=sin(x)1+x 211+x 2.

On obtient ainsi l'encadrement : 11+x 2Q(x)11+x 2, pour tout x réel.
Exercices.

Techniques d'encadrement

Voici quelques outils complémentaires pour majorer, minorer, encadrer.

Etude d'une fonction

L'étude d'une fonction sur un intervalle I permet d'obtenir un encadrement des valeurs prises par cette fonction : le maximum et le minimum (ou une borne inf et une borne sup) de la fonction sur l'intervalle. On peut aussi être plus précis en se restreignant à une partie de l'ensemble de définition pour avoir un encadrement local.

Exemple. Trouver un encadrement de la fonction f, définie sur par f(x)=2x 2+31+x 2

L'étude (simple) et le tableau de variation permettent de montrer l'encadrement : x2f(x)3
Ce qui est confirmé par la représentation graphique de la fonction,

figure

Recherche du signe d'une différence

Pour montrer que, pour tout x dans un intervalle I, on a f(x)g(x), on peut étudier le signe de la différence f(x)g(x) sur I. Si cette différence reste toujours négative, l'inégalité est prouvée sur un intervalle I.

Exemple. Montrer que : x ,1+xe x1+x+x 22

On introduit les deux fonctions ϕ(x)=e x(1+x) et ψ(x)=e x(1+x+x 22) que l'on étudie sur . On démontre aisément les inégalités ϕ(x)0 et ψ(x)0, pour tout x dans .

L'inégalité des accroissements finis

Rappelons son énoncé :
Théorème. Inégalité des accroissements finis.
Soit une fonction f définie sur un segment [a,b], avec a<b, à valeurs dans , continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et dont la dérivée est bornée sur ]a,b[. Alors :

f(b)f(a)basup x]a,b[f(x)

Exercice. Montrer : x,sin(x)x

Utiliser le théorème précédent en différenciant les deux cas : sur [0,x] pour x0, et sur [x,0] pour x0

Utiliser des arguments de convexité

On rappelle que si une fonction est convexe sur un intervalle I (par exemple, si elle est deux fois dérivable avec une dérivée seconde positive sur I) alors sa représentation graphique est au-dessus de toutes les tangentes en tout point de I, et au-dessous de toutes les cordes joignant deux de ses points.

Exercices.
1- Montrer : x[0,π/2]2πxsin(x)x

On remarquera que la fonction sin est convexe sur [0,π/2].


2-Montrer : x ,1+xe x1+x+x 22

Pour l'inégalité de gauche, s'intéresser à la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle (convexe, car sa dérivée seconde est strictement positive) au point (0,1)... Pour l'inégalité de droite, utiliser le point 2 de cette page.

Intégration et inégalité de la moyenne

Rappelons un énoncé du théorème :
Théorème. Inégalité de la moyenne Soit a et b deux réels avec a<b, et f une fonction continue sur l'intervalle [a,b]. S'il existe deux réels m et M vérifiant : x [a,b] mf(x)M, alors on a :

m(ba) a bf(x)dxM(ba)

Exercice. Montrer que : 1ln3 2 31lnxdx1ln2

Remarquer que la fonction à intégrer est monotone...

Exercez vous sur les pages suivantes qui proposent de nombreux exercices.

Exercices de déduction d'inégalités simples

Les exercices qui suivent demandent de montrer des résultats simples, mais obligent à décomposer en étapes et à réfléchir à chaque instant aux méthodes que l'on utilise.
Exercices de déduction (I).
Exercices de déduction (II). Un pot pourri d'inégalités à résoudre
Exercices (III). Inégalités classiques et méthodes.
  1. Inégalité triangulaire :
    Soient x et y deux réels quelconques. Montrer que : xyx+yx+y

    - Pour l'inégalité de droite, élever au carré (raisonner par équivalence)
    - Pour l'inégalité de gauche, reprendre l'inégalité de droite (qui a donc été démontrée ) en écrivant que x+yy=x..., puis permuter x et y.


    On pourra aussi démontrer la double inégalité presque identique : xyxyx+y
  2. Inégalité de Bernoulli.
    x0 et n. Montrer, par récurrence, que (1+x) n1+nx
  3. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
    Soit n *, montrer que pour tout entier naturel i, 1in et pour tout couple (x i,y i) 2 : i=1 nx iy i( i=1 nx i 2) 1/2( i=1 ny i 2) 1/2

    On développera l'expression i=1 n(x i+λy i) 2λ, en faisant apparaitre un trinôme du second degré en λ, sur lequel on fera une remarque judicieuse.

  4. Une application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    Soient x 1, x 2 et x 3 des réels tels que x 1+x 2+x 3=2 et x 1 2+x 2 2+x 3 2=12.
    Quelle est la valeur maximale de x 3?

    L'inégalité de Cauchy-Schwarz avec deux termes, élevée au carré, donne : (x 1y 1+x 2y 2) 2(x 1 2+x 2 2)(y 1 2+y 2 2)
    Puis faire : y 1=y 2=1.

    x 3=103

  5. Une autre application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    Soient x 1, x 2 et x 3 des réels strictement positifs. Montrer que : (x 1+x 2+x 3)(1x 1+1x 2+1x 3)9

    (x 1+x 2+x 3)(1x 1+1x 2+1x 3)(x 11x 1+x 21x 2+x 31x 3) 2

Autres exercices classiques

Exercice 1. Montrer que : x0,y02xyx+y

Puisque c'est possible, élever au carré, puis conclure.

Exercice 2. Montrer que : x + *,(1+1x) x<e<(1+1x) x+1 Indication : Théorème des accroissements finis

On applique le théorème des accroissements finis à la fonction f : tln(t) sur l'intervalle fermé [x,x+1].
Il existe c dans le même intervalle mais ouvert, tel que ln(x+1)ln(x)=1c.
Donc : ln(1+1x)=1c. Or 1x+1<1c<1x.
On a ainsi : 1x+1<ln(1+1x)<1x. Puis :xln(1+1x)<1<(x+1)ln(1+1x).
Et on conclut avec la croissance stricte de la fonction exponentielle.

Exercice 3. Montrer que : x[1,1],4x 33x[1,1]

On veut demontrer que 14x 33x1. Il est naturel d'introduire les deux fonctions P et Q
P:x14x 3+3x, et Q:x4x 33x+1. On remarque que P(1)=0=Q(1)=0 ce qui permet de les factoriser.
On arrive à : P(x)=(1x)(2x+1) 2,et Q(x)=(1+x)(2x1) 2. On en déduit que P et Q sont positives sur l'intervalle, puis le résultat.

Exercice 4. Soit n,n2. Montrer que (x 1,x 2,y 1,y 2) + 4x 1x 2+y 1y 2(x 1+y 1)(x 2+y 2)

On va raisonner par équivalence, et utiliser le fait que deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
(1) x 1x 2+y 1y 2+2x 1x 2y 1y 2(x 1+y 1)(x 2+y 2)(x 1y 2x 2y 1) 20

Exercice 5. Soient a,,b,ε des réels. Démontrer les équivalences suivantes.
  1. (ε>0,aε)(a=0)
  2. (ε>0,a<ε)(a=0)
  3. (ε>0,ab+ε)(ab)
  4. (ε>0,a<b+ε)(ab)

Les implications Leftarrow sont immédiates. Pour les réciproques de 1 et 3, on démontre la proposition contraposée.
1- La contraposée a0 il existe ε>0 tel que a>ε est vraie, par exemple, pour ε=a2.
2- On remarque que (ε>0,a<ε)(ε>0,aε), et on est ramené au (1)
3- La contraposée a>b il existe ε>0 tel que a>b+ε est vraie, par exemple, pour ε=ab2.
4- On remarque que (ε>0,a<b+ε)(ε>0,ab+ε), et on est ramené au (3)

Exercice 6. Majoration d'une suite par l'étude d'une fonction.
Montrer que la valeur maximale de la suite définie par : n *,u n=n 1/n=nn est 3 1/3=33
On utilisera l'étude de la fonction définie sur + * par f(x)=ln(x)x

L'idée est naturelle de prendre le log de l'expression pour ôter la puissance n-ième de nn.
ln(u n)=ln(nn)=ln(n)n. D’où l'introduction de la fonction f indiquée, que l'on va étudier.
f est dérivable sur + * et f(x)=1ln(x)x 2. On voit, en faisant le tableau de variation que f est croissante sur [0;e], décroissante sur [ e,+].
De plus, f(2)=22,f(3)=33 et, comme 22<33, on obtient le résultat.

Exercice 7. Inégalités dans .
  1. Soit z, montrer que : Re(z)+Im(z)2zRe(z)+Im(z)
  2. Soit n. Montrer que : z,z1 : 1z n+11z1z n+11z

1 - Notons tout d'abord que tout se passe dans +. Appelons a le partie réelle de z et b sa partie imaginaire. Pour l'inégalité de gauche, il faut démontrer que a+b2z. En élevant tout au carré (possible) on arrive après calcul à: [ab] 20. Ce qui est vrai et prouve la première inégalité. La seconde se traite à peu près de la même façon.
2 - Dans l'expression 1z n+11z, valide puisque z1 et donc que z1, on reconnait la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique, de premier terme 1 et de raison z. Donc 1z n+11z=1+z+z 2+z 3++z n. En utilisant l'inégalité triangulaire, cela permet alors d'écrire :
1z n+11z1+z+z 2+z 3++z n=1z n+11z

Inéquations : Exercices

Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la partie F du cours Activité inconnue .

Exercices. À résoudre sans étude de fonctions, mais en utilisant les propriétés de l'ordre de .
  1. Résoudre l'inéquation : x+13, en séparant les cas suivant le signe de x+1.
  2. Quelles sont les valeurs de x vérifiant : 02xx 221

    Attention au signe du dénominateur !

    S=[13;0][1+3;+[

  3. Quelles sont les valeurs de x vérifiant : x2x+2x 22x1

    Attention au signe du dénominateur !

    S=];6]]2;0][6;+[.

  4. Quelles sont les valeurs de x vérifiant : 0x 2+4x 2+21

    S=.

Exercice. Résoudre les inéquations :
  1. x 25x+4>2x1
  2. x 25x+4>2(x1)

La racine carrée est-elle définie ?

1- S= ]0,1[]1,85[
2- S=],1[

Exercices.
  1. Inéquations avec valeurs absolues
  2. Trouver l'erreur !
  3. Inéquations à résoudre

Inéquations avec paramètres

Exercice 1. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre m, l'inéquation : mx2 > m1x+1
Voici la solution par étape :

On regroupera tout dans le membre de gauche, en réduisant au même dénominateur. On obtient une fraction F qui doit être strictement positive.


Il s'agit alors d'étudier le signe des trois termes x+3m2, x2, x+1. Il faut donc prévoir un (en fait plusieurs) tableaux de signe.
Il sera judicieux d'écrire que x+3m2=x(23m).

Trois cas vont se présenter suivant la position de 23m par rapport à -1 et 2 (valeurs interdites pour x)
  • 23m<1<2, c'est-à-dire m>1
  • 1<23m<2, c'est-à-dire 0<m<1
  • 2<23m, c'est-à-dire m<0


Résolvons le premier des trois cas, pour m>1. On fait donc un tableau de signe avec les trois termes et F en dernière ligne.
On obtient la solution suivante : Dans le cas m>1, l'ensemble des solutions est ]23m;1[]2;+[.
Les deux autres cas mentionnées ci-dessus se traitent de la même façon.
On n'oubliera pas les deux cas particuliers m=1 et m=0.
Traitons le premier. Pour m=1, on a (23m)=1, et F=1x+2, avec x1. L'inéquation s'écrit 1x+2>0, et donc pour m=1, l'ensemble des solutions est ]2;+[

Exercice 2. Trouver les valeurs du paramètre m pour lesquelles lesquelles l'inéquation suivante est vérifiée pour tout x réel.

x 2mx+1x 2+x+1<3

On remarquera que le dénominateur de la fraction est strictement positif pour tout réel x. On multiplie donc les deux membres de l'équation par x 2+x+1 et on obtient une inéquation équivalente du type A<B, elle-même équivalente à B<A<B. Deux inégalités à résoudre...


L'inéquation est vérifiée pour tout x réel si m vérifie 5<m<1.

Quelles sont les méthodes ?

Considérons une fonction f de sur , par exemple f(x)=x 2+2xe x9xsinx4.
Est-elle bornée si x varie dans un intervalle donné I, par exemple I=[1;3] ? On peut évidemment faire une étude complète de la fonction (bien compliquée dans ce cas particulier), mais souvent une estimation suffit, encore qu'elle ne fournisse pas toujours le meilleur encadrement possible...

Dans notre exemple, f se présente comme une fraction : pour majorer f, nous allons (comme il a été vu dans la page Borner une fraction )

En conclusion, on peut dire que, sur [1;3], la fonction est majorée par 24 et même par 8 si on a été plus courageux.

Remarque. Toutefois, si l'on trace la courbe représentative de la fonction f (ici avec Geogebra), on obtient ceci :

La représentation graphique ci-dessus de la fonction f montre qu'en réalité sur [1;3] elle est comprise entre 0 et un peu moins de 2,5...
Ceci ne remet pas en question le travail fait, mais prouve que l’encadrement obtenu par ces majorations et minorations est assez large mais c'est souvent suffisant.

Majoration sous condition

Exercices. Démontrer les implications suivantes :
  1. x11x 2sinx2xx 264.

    Solution
    Par hypothèse le réel x est dans l'intervalle [0;2], l'expression de la valeur absolue d'un produit et l'inégalité triangulaire nous permettent de majorer le numérateur :

    x 2sinx2x=xxsinx2x(x+2)8

    D'autre part le dénominateur x 26 vaut 6x 2 dans l'intervalle considéré donc est minoré par 2. En combinant ces deux résultats, on obtient l'implication cherchée.
  2. x3x 2exp(x)x 620x 2130.

    Solution
    Quand x est positif, exp (x) est positif et majoré par 1, on obtient donc :

    x 2exp(x)x 620x 21x 420

    Quand x est supérieur à 3, alors on a x 481, donc on obtient x 42030>0
    d'où l'inégalité : 1x 420=1x 420130 qui permet d'obtenir l'implication

    x3x 2exp(x)x 620x 2130

  3. x21x 24xcos(x2)5x2.

    Solution
    Par hypothèse, si x[1;3], x2 est compris entre 1 et 1 et comme la fonction cosinus est paire et décroissante sur [0;1], l'expression cos(x2) est positif et minoré par cos(1). De plus x est minoré par 1 et x+2 est majoré par 5. On obtient donc

    x21x 24xcos(x2)x+2x2cos(1) 5x2cos(1)

    Pour 1π3, on a : cos(1)1215 (on est aussi autorisé à prendre une calculatrice...). Ce qui est équivalent à 5cos(1)5 d'où on tire :

    x21x 24xcos(x2)5x2.

Limite finie d'une suite

La définition suivante est formellement la même dans ou , avec cette différence : la notation a désigne une valeur absolue dans et un module dans .

Définition.
Soit (u n) n une suite numérique, à valeur dans ou . On dit que la suite (u n) n converge vers le nombre l si :

ε n 0 tel que n,nn 0u nlε

On note alors : lim n+u n=l

Graphiquement, cela signifie qu'une valeur ε étant fixée, alors au-delà du rang n 0 (qui dépend du choix de ε), tous les termes de rang supérieurs à n 0 sont dans l’intervalle [ lε,l+ε] dans le cas réel, et dans le disque de centre l et de rayon ε dans le cas complexe.

Dans le graphique ci-dessous, pour une suite u n convergeant vers 2, on a tracé les points de coordonnée (n,u n) pour 0n20. On constate que rapidement tous les points se situent à l'intérieur de la bande entre y=1,5 et y=2,5.

Exemple. On considère la suite définie par u n=2n 2n 23,n,n2. Montrer avec la définition ci-dessus que la suite tend vers 2.
À partir de quel entier n 0 la quantité u n2 sera-t-elle inférieure à ε=10 2?

Ici, on résout des inéquations : On se donne donc un ε petit dans et on cherche les n vérifiant u n2ε : on a les équivalences suivantes
2n 2n 232ε(n 23ε6εetn 23ε+6ε)n 23ε+6εn3ε+6ε
La valeur n 0 qui répond à la définition de la limite est la valeur trouvée, mais, comme elle n'est très probablement pas entière, on prendra n 0=E[3ε+6ε]+1E[a] est la partie entière de a.
Pour ε=10 2, on trouve n 0=25.
On notera que l'on a ici raisonné par équivalence.


On transforme l'expression et on utilise les règles de majoration et minoration d'une fraction :

2n 2n 232 = 6n 23 = 6(n3)(n+3).

On peut minorer n+3 par n, puis n3 par 10, ce qui est acquis dès que n12.
On obtient ainsi 2n 2n 232 leq 610n
Pour ε=10 2, on trouve n 0=60, compatible avec l'hypothèse n12. Ce résultat est moins précis que le résultat précédent mais on a raisonné directement par majoration et minoration ce qui est dans l'esprit de ce document.

Limite infinie d'une suite

Définitions.
Soit (u n) n une suite à valeur dans .
  • On dit que (u n) n tend vers + lorsque n tend vers + si

    A +n 0 tel que n,nn 0u nA

    On note alors : lim n+u n=+
  • On dit que (u n) n tend vers lorsque n tend vers + si

    B n 0 tel que n,nn 0u nB

    On note alors : lim n+u n=
Remarque.

Un certain nombre de suites "de référence" tendent vers +. Par exemple, les suites (n α) n (avec α>0); (ln(n)) n; (n) n; (e n) n ... Ces suites seront largement utilisées pour des majorations ou minorations de suites plus complexes, en utilisant les théorèmes de comparaison, voir par exemple un Théorème de comparaison pour les suites .

Exercice. Avec des fonctions trigonométriques
Exercice. Montrer que toutes les suites arithmétiques (u n) n de raison r non nulle tendent vers l'infini.
Même question avec les suites géométriques (v n) n de raison q>1.

On peut démontrer par récurrence les formules u n=u 0+nr et v n=v 0q n.
Pour traiter la suite géométrique, poser q=1+x avec x>0. Commencer à développer à l'aide de la formule du binôme de Newton et minorer judicieusement.

Exercice. On considère la suite (u n) ndéfinie par la relation de récurrence u n+1=u n 2. Que peut-on dire de cette suite dans la cas u 0]0,1[ ? dans le cas u 0>1 ?

Théorème de comparaison pour les suites

Cet énoncé résulte facilement de la définition d'une suite tendant vers l'infini.

Théorème.
Soit (u n) n et (v n) n deux suites vérifiant :
  1. Il existe un rang n 0 tel que pour tout nn 0u nv n
  2. La suite (u n) n tend vers +.
Alors la suite (v n) n tend vers +.
En présence d'une suite (v n) dont on pense qu'elle tend vers +, on peut chercher à la minorer par une des suites de référence rappelées à la page précédente, ou une suite connue dont on connait le comportement, et on conclura par ce théorème.
Exemple. Déterminer la limite en + de la suite définie par u n=e nn 32cos(n)n1.
Solution : Cette suite est positive. On minore le numérateur et on majore le dénominateur et on obtient e nn 3e n et 2cos(n)3. On en déduit une minoration de u n par le terme général d'une suite qui tend vers l'infini : u ne n3. Cela démontre l'égalité lim n+u n=+
Exercice. On considère la suite définie, pour n0, par u n=4n 2+5n+22n+1. Montrer avec la définition ci-dessus, et en utilisant des techniques de majoration/minoration, que cette suite tend vers +.

Pour rester dans l'esprit du document, on procéde par minoration:
u n=4n 2+5n+22n+1=4n 2+4n+12n+1+n+12n+1=2n+1+n+12n+12n+1
On se donne un nombre réel A0 et on cherche un entier n 0 répondant à la définition.
Si on choisit n tel que 2n+1A, on peut écrire les inégalités : u n2n+1A, et en particulier u nA.
il suffit donc de choisit pour n 0 le plus petit entier naturel n tel que 2n+1A, par exemple n 0=E(A12)+1, où E(a) est la partie entière du réel a.
Ici, nous avons montré que la suite minorante (2n+1) n tend vers l'infini et nous avons ainsi conclu avec la définition sans invoquer le théorème.

Exercice. Montrer que la suite définie, pour n1, par u n= k=1 k=2n1(2k2n)=(212n)(222n)(232n)(22n12n) tend vers +.

Les facteurs correspondants à des valeurs de k comprises entre 1 et n sont supérieurs ou égaux à 32. Les autres sont supérieurs à 1, on obtient donc u n(32) n. La suite ((32) n) n est une suite géométrique de raison supérieure à 1, donc elle tend vers +, ainsi que (u n) n, grâce au théorème de comparaison.

Exercice. Comparaison de suites.

Une définition de limite

Définition.

Soit A un sous-ensemble de et f une fonction définie sur A à valeurs dans . Soit b un réel (n'appartenant pas nécessairement à A, mais tel que f soit « définie au voisinage de b »), et L un réel.
On dit que f admet L pour limite au point b, lorsque :
Pour tout réel ε>0, il existe un réel α>0, tel que, pour tout x dans A avec xbα, on ait f(x)Lε

Cette proposition s'écrit aussi.

ε>0,α>0,[xA et xbα]f(x)Lε

On note L=lim xbf(x), ou L=lim bf.

Commentaires sur cette définition

  1. Cette définition de la limite fait appel, on le voit, à des inégalités, ce qui justifie sa présence dans ce document qui, pour autant, n'est pas consacré aux questions de limite.
  2. On notera que la valeur de la limite L est ici supposée connue.
Exercices.
  1. Calcul d'un\(epsilon\)
  2. Aide visuelle. Le nombre ε étant donné, trouver α en étant aidé visuellement.

En attendant d'avoir des théorèmes sur les limites, on voit que pour démontrer qu'une fonction admet la limite L quand x tend vers x 0, on est amené, pour un ε donné, à trouver un nombre α (qui n'est pas unique, bien sûr) vérifiant certaines propriétés. La méthode est décrite à cette page .

Méthode

Une lecture approximative de la définition de la limite peut conduire à une direction de travail peu précise. Certains la réduisent au schéma suivant : si x tend vers b, alors f(x) tend vers L, mettant la priorité au comportement de x, qui va entraîner celui de f(x). La démarche de la démonstration est exactement inverse.

Revenons à un peu de logique mathématique. Dans une implication 𝒫𝒬, le but final est la proposition 𝒬, c'est donc ce que l'on doit avoir en perspective dès le début.

On a ainsi trouvé un intervalle [bα,b+α] sur l'axe des abscisses (et qui doit être dans l'ensemble de définition) dans lequel il suffit de prendre les valeurs de x dans A, pour avoir f(x)Lε, c'est à dire pour que que f(x) soit dans l'intervalle [Lε,L+ε].

Exemple d'application.

Montrer, en utilisant la définition ci-dessus, que la fonction f définie sur par f(x)=x 2+4x5 admet pour limite 0 lorsque x tend vers 1.

Preuve : On note d'abord que le trinôme admet 1 et -5 pour racines. Donc f(x)L=(x 2+4x5)0=x1x+5, et on a fait apparaitre la quantité x1.
Comme x tend vers 1, on peut supposer que x est compris entre 0 et 2, mais on introduit donc une condition sur x (dont il faudra tenir compte) qui s'écrit x11 (*).
Comme x est compris entre 0 et 2, 5x+57. Cette condition nous permet donc de majorer x+5 par 7.
Donc f(x)L=x1x+5 est majoré par 7x1
Soit ε>0, pour que l'inégalité f(x)Lε soit vérifiée, il suffit que la condition (*) soit vérifiée et qu'on ait 7x1ε, c'est-à-dire x1ε7. Donc on choisit α=min(1,ε7).

Application. Si on se donne par exemple, ε=0,7 on obtient α=0,1 et on sait alors que toutes les valeurs de x se trouvant dans l'intervalle [0,9;1,1] ont des images par f dans l'intervalle [0,7;0,7].

Un exemple simple

Exercice 1. Soit a, b des réels, C un réel positif, et n un entier naturel. Donner une majoration raisonnable de f(x)b de la forme Cxa n.
  1. f(x)=x 3,a=2,b=8 avec la condition x21.
    Solution

    x 38=(x2)(x 2+2x+4) x2(x 2+2x+4)

    Si la condition x21 est vérifiée, x est majoré par 3 et on peut écrire :

    f(x)b19x2

  2. f(x)=x 2+3x2,a=1,b=4 avec la condition x112
    Solution

    x 2+3x2+4=(x1)(x+5)x2


    Si x est compris entre 1/2 et 3/2, (on est alors sûr que la fonction est définie), on minore x2 par 12 (faire un dessin sur la droite réelle en plaçant 12, 1, 32 et 2, et on majore x+5 par 132. On peut donc écrire que

    si x est compris entre 1/2 et 3/2 , x 2+3x2+413x1

  3. f(x)=x 2+1x 2,a=1,b=2 avec la condition x112
    Solution

    x 2+1x 22 = (x 21) 2x 2 = (x1) 2(x+1) 2x 2

    La fonction est définie si et seulement si x n'est pas nul, nous allons donc supposer que x est entre 12 et 32, alors (x+1) 2 est majoré par 5 22 2 et x 2+1x 22 est majoré par 7(x1) 2 pour faire simple.
Exercice 2. Montrer, avec la définition précédente que lim x1(x 2+1)=2
Solution
f(x)L=(x 2+1)2=x1x+1.
Au voisinage de 1, on peut supposer que 12x32, et donc que x112(*) condition qui sera réutilisée. De plus 32x+152
On a donc obtenu : f(x)L=x1x+152x1
Soit ε>0, pour que l'inégalité f(x)Lε soit vérifiée, il suffit que la condition (*) soit vérifiée et qu'on ait 52x1ε, c'est-à-dire x12ε5.
On choisit donc α=inf(2ε5,12)
Conclusion : ε>0,α>0(α=inf(2ε5,12))x1α(x 2+1)2ε. Ce qui prouve le résultat cherché.
Exercice 3. Soit ε un réel strictement positif. Dans chacun des cas traités au-dessus, proposer une valeur de α dépendant de ε telle que l'implication suivante soit vraie :

xaαf(x)bε

Solution

xaα Rightarrow f(x)bε

Une infinité de choix de α sont possibles, le choix dépend de la majoration qu'on a réussi à faire. Les majorations proposées permettent d'affirmer que les valeurs de α suivantes conviennent ainsi que toute valeur inférieure.
  1. α=inf(ε19,1). On doit choisir α inférieur à 1 car la majoration n'est démontrée que pour x21.

    x2inf(ε19,1) Rightarrow ) x 38ε

  2. α=inf(ε13,12).

    x1inf(ε13,12) x 2+3x2+4ε

  3. α=inf(ε4,12).

    x1inf(ε4,12) x 2+1x 22ε

Approche de la définition de la limite

Question : Dans quel intervalle centré b puis-je remplacer f(x) par f(a) sans commettre une erreur supérieure à un ε donné à l'avance ? Cet intervalle est noté ]bα,b+α[. Par exemple, dans quel voisinage de 14, est-on sûr de pouvoir remplacer 1x par 2 en commettant une erreur inférieure à ε=10 3 ?
Prenons f(x)=1x et transformons la différence, en valeur absolue, de f(x) et de f(14) :

1x2=12xx=14x(1+2x)x=414x(1+2x)x

Maintenant nous allons majorer K(x)=41(1+2x)x par une constante sur un intervalle plus petit contenu dans ]0;+[. D'une part 1+2x est minoré par 1, d'autre part si x est supérieur à 116 [Hypothèse que l'on fait pour être au voisinage de 14, mais que l'on devra contrôler ultérieurement], alors 1x est inférieur à 4, donc

pour tout x>116,K(x)=41(1+2x)x est majoré par 16, et 1x2 par 1614x .

Remarque : si x vérifie 14x<10 316, x vérifie aussi x116. La majoration est donc valide et nous avons montré l'implication suivante :

14x10 316 1x210 3.

En résumé, si on choisit x entre 1410 316 et 14+10 316, on peut dire que 1x vaut 2 à 10-3 près ou que l'erreur est au plus de 10-3. Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser ce travail de majoration pour affirmer :

ε>0, α>0,14xα 1x2ε.

Comme notre majoration n'est valide que pour x supérieur à 116, condition qui est vérifiée si x appartient à l'intervalle [1438;14+38] ; on impose la condition α3/16. Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre α=inf(316,ε16).

Interprétation graphique

document donnant une introduction à la notion de limite.
: limit,epsilon,inequalities,inequations, functions,sequence, CFAI,interactive math, server side interactivity

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