DOC Chiffres significatifs

Sommaire

Introduction

Contexte

En science, lorsque l'on manipule des grandeurs expérimentales, il ne s'agit jamais de valeurs exactes car elles sont toujours entachées d'une certaine incertitude liée à la mesure. Cette problématique qui doit impérativement être prise en compte en science expérimentale ou lors des séances de Travaux Pratiques impose que le résultat m d'une mesure M doit toujours être accompagné non seulement de son unité mais également d'une incertitude ΔM et se présenter sous la forme M=m+ΔM unité. Par exemple, la masse d'une personne mesurée avec un pèse-personne standard sera exprimée 80,4±0,1 kg. L'objectif de ce document est d'apprendre à donner le résultat d'une mesure ou d'un calcul réalisé à partir de données expérimentales dans une forme adaptée à la précision des données. Pour ce faire, les expérimentateurs utilisent la notion de chiffres significatifs. Les problématiques d'erreur et d'incertitudes ne seront pas développées dans ce cours. Le lecteur intéressé est invité à se reporter à d'autres références à propos de cette problématique.

Valeur et chiffres significatifs d'une grandeur

Pour décrire une grandeur mesurée ou calculée qui sera appelée "mesurande", deux paramètres vont alors être pris en considération :

Pour tous

Pour les étudiants de Licence et au-delà

Détermination du nombre de chiffres significatifs

Définitions.

Dans des données, on a deux types de chiffres significatifs (en abrégé CS). Les chiffres différents de zéro sont toujours significatifs. Pour les zéros, il y a trois catégories :

Exemples.

Décimales d'un nombre et chiffres significatifs

Comme annoncé dans l'introduction figurant dans la page "Sommaire" de ce document WIMS, l'objectif principal de ce cours est de savoir présenter le résultat d'un calcul réalisé à partir de données expérimentales ("mesurandes") avec une précision cohérente avec celle des mesurandes utilisés dans le calcul. Cependant, la plupart du temps, les calculs font intervenir à la fois des mesurandes mais également des nombres. A titre d'exemple, on peut citer le calcul du volume d'une sphère à partir du mesurande qu'est son rayon suivant la formule 43πr 3 qui fait intervenir, en plus du mesurande r, le nombre rationnel 43 et le nombre réel π. Il convient donc d'expliquer pourquoi ces nombres n'impactent pas la précision du résultat des calculs.

Dans l'écriture en base 10, tout nombre possède une partie entière et un développement décimal. Ce développement décimal peut comporter un nombre fini ou infini de décimales (si on ne compte pas les zéros apparaissant à la fin).


Conclusion : définition des nombres exacts.

Les exemples listés ci-dessus concernant les nombres entiers, décimaux, rationnels non décimaux et irrationnels montrent que, lorsqu'un nombre est donné et non mesuré, les chiffres et décimales de ce nombre n'impactent pas la précision atteignale des calculs dans lesquels ce nombre intervient, si on fait le bon choix. On dit alors que ces nombres sont exacts.

Nombres entiers

Les nombres entiers présentent des décimales nulles ou égales à 9.

Exemples.

Nombres décimaux

Les nombres décimaux ont un nombre fini de décimales non nulles. Comme les nombres entiers, ils ont toutefois un développement décimal illimité propre et un développement décimal illimité impropre.

Exemples.

Nombres rationnels non décimaux

Les nombres rationnels non décimaux ont un développement décimal illimité périodique donc parfaitement connu à partir d'un certain rang.

Exemples.

Nombres irrationnels

Certains nombres irrationnels ont un développement décimal illimité dont les décimales sont calculées par des méthodes numériques utilisées dans les calculatrices.

Dans le cadre des calculs usuels, on n'est donc pas limité par le nombre de décimales utilisables et on est invité à fournir le résultat des calculs faisant intervenir ces nombres irrationnels avec un nombre de décimales cohérent avec les autres données.

Exemples.

Arrondi d'un nombre

Pour déterminer les chiffres significatifs d'une valeur mesurée ou du résultat d'une série de calculs, on doit procéder à un arrondi. Dans ce document, on se limitera à la méthode d'arrondi la plus courante appelée arrondi au plus proche ou arrondi arithmétique. Toutefois, d'autres méthodes d'arrondis peuvent être envisagées telles que l'arrondi au pair le plus proche, l'arrondi stochastique, la troncature, l'arrondi par partie entière et l'arrondi par partie entière par excès. Elles ne seront pas évoquées dans ce document.

Règle 1. Dans les calculs, on doit conserver tous les chiffres (y compris les chiffres non significatifs) jusqu'au résultat final ; après quoi il faut arrondir le résultat pour ne garder que les chiffres significatifs ou les décimales significatives en respectant la précision des données et des opérations.(voir Chiffres significatifs dans les opérations )
Règle 2. On note P le chiffre significatif le plus à droite ou la décimale significative la plus à droite. On regarde alors le chiffre noté S suivant le chiffre P et deux cas se présentent :
  1. Si le chiffre S est inférieur à 5, le chiffre P est conservé (par exemple, la valeur arrondie de 1,33 avec 2 CS est 1,3).
  2. Si le chiffre S est égal ou supérieur à 5, le chiffre P est majoré de 1 (par exemple, la valeur arrondie de 1,36 avec 2 CS est 1,4).
Exercice. Ecrire un nombre avec des chiffres significatifs

Pour entrer les réponses des exercices,

Chiffres significatifs dans les opérations

Définition.

Selon le contexte, la mesure la moins précise est, par définition, celle qui présente le moins de chiffres significatifs (voir règle sur les produits et les quotients) ou celle qui présente le moins de décimales (voir règle sur les sommes et les différences).

Exemples.

Les différentes règles.

Exercices.

Les règles et exemples nécessaires pour pouvoir traiter les exercices ci-dessous sont présentés dans les trois pages "produit, quotient et chiffres significatifs", "somme, différences et décimales" et "conversion".

Pour entrer les réponses des exercices,

Pour la question 3 de l'exercice "Chiffres significatifs (2)", on indique que la précision des valeurs de a et de b à utiliser dans le calcul est celle fournie aux questions 1 et 2.

Pour l'exercice "Chiffres significatifs (3)", on indique que la mention "On tiendra compte des chiffres significatifs et de l'unité." signifie que vous devrez donner votre réponse avec les chiffres significatifs appropriés et que vous devrez aussi préciser l'unité.

Produit, quotient et chiffres significatifs

Règle.

Un produit (résultat d'une multiplication) ou un quotient (résultat d'une division) a autant de chiffres significatifs que la mesure la moins précise utilisée dans le calcul.

Exemples.

Somme, différence et décimales

Règle.

Une somme (résultat d'une addition) ou une différence (résultat d'une soustraction) a autant de décimales que la mesure la moins précise utilisée dans le calcul. Bien évidemment, tous les termes de la somme et de la différence doivent être exprimés dans la même unité.

Exemples.

Conversion

Règle.

Lors d'une conversion d'unités, les règles précédentes s'appliquent. Le facteur de conversion d'unités peut avoir un nombre infini de chiffres significatifs ou pas.

Exemples.

Logarithmes, exponentielle, puissances de 10

En physique ou en chimie, par exemple avec le logarithme népérien, on est souvent amené à calculer ln(PP 0) avec P 0=1 bar ou ln(CC 0) avec C 0=1 mol. L 1. Dans ces expressions, P 0 et C 0 sont des entiers dont la précision ne limite pas celle du résultat du calcul. Dans de tels cas de figure, c'est donc uniquement le nombre de chiffres significatifs de la pression P ou de la concentration C mesurée qui va impacter, d'abord, la précision de l'argument du logarithme népérien et, ensuite, du résultat du calcul global.

Règle pour le logarithme népérien.

Le logarithme népérien a le même nombre de chiffres significatifs que son argument.


Exemple 1.

Avec la virgule comme séparateur décimal : ln(37,5)=3,624340 donc ln(37,5)3,62.

Avec le point comme séparateur décimal : ln(37.5)=3.624340 donc ln(37.5)3.62.

Règle pour le logarithme décimal.

Le logarithme décimal d'une donnée a autant de chiffres décimaux que la donnée a de chiffres significatifs.

Cela signifie qu'en notation scientifique, l'exposant de la puissance de 10 n'est pas un chiffre significatif. En effet, les égalités log(A×10 n) = logA+log10 n = logA+nlog10 = logA+n montrent que, dans la notation A×10 n, la valeur de n, exposant de la puissance de 10, permet de positionner la virgule.

Exemple 2 détaillé.

Les nombres 4,5×10 3 et 4,5×10 4 ont chacun deux chiffres significatifs. Les valeurs log(4,5)=0,6532, log(4,5×10 3)=3,6532 et log(4,5×10 4)=4,6532 illustrent que la partie entière du logarithme décimal d'un nombre n'est que la valeur de l'exposant de 10 dans l'écriture scientifique du nombre. Ainsi, il faut écrire log(4,5)0,65, log(4,5×10 3)3,65 et log(4,5×10 4)4,65.

Exemple 3.

Avec la virgule comme séparateur décimal : log(5×10 2)=1,301029 et on prendra log(5×10 2)1,3 (et non pas log(5×10 2)1).

Avec le point comme séparateur décimal : log(5×10 2)=1.301029 et on prendra log(5×10 2)1.3 (et non pas log(5×10 2)1).

Ici, on conserve une seule décimale parce que l'argument 5×10 2 a un seul chiffre significatif.

Règle pour l'exponentielle.

Le résultat final est donné avec autant de chiffres significatifs que l'argument de l'exponentielle.

Exemple 4.

Avec la virgule comme séparateur décimale : exp(6,45)=632,70229 conduit à exp(6,45)6,33×10 2.

Avec le point comme séparateur décimale : exp(6.45)=632.70229 conduit à exp(6.45)6.33×10 2.

Règle pour les puissances de 10.

Le résultat final est donné avec autant de chiffres significatifs que l'exposant a de décimales.

Exemple 5.

Avec la virgule comme séparateur décimal : 10 2,62=416,8693 conduit à 10 2,624,2×10 2.

Avec le point comme séparateur décimal : 10 2.62=416.8693 conduit à 10 2.624.2×10 2.

Ordre de grandeur

Définition.

L'ordre de grandeur d'une grandeur physique est une puissance de 10 qui donne de façon approximative mais simplifiée la mesure de cette grandeur physique. Cet ordre de grandeur s'obtient en prenant la dizaine la plus proche de la valeur numérique de la grandeur physique exprimée en notation scientifique et arrondie avec un seul chiffre significatif.

Exemples.

Exercice. Ordre de grandeur

résumé de cours sur les chiffres significatifs.
: signdigits, CFAI,interactive math, server side interactivity

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