Algorithme du gradient --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 14 exercices sur l'algorithme du gradient et l'optimisation de fonctions en grande dimension; consulter le polycopie situé dans le module "Aide memoire d'optimisation elementaire".
4 exercises translated in English

gradient fonction quadratique

Calculer dans la ième composante du gradient la dérivée partielle par rapport à de la fonction au point x=[],
avec b=[], A=[]

definie positive

Dans avec la précision , la matrice est-elle défine positive?
la fonction admet-elle un minimum unique?
avec et E=[]
Repondre par oui ou non
debug:#### quest=, absdeter=

grad_quad, err_sur_g,5D, unsuralpha

On considère: ,
, avec la solution la solution du système linéaire
, le point de départ
ou pour copier coller:
A=[];
F=[]; x0=[]; x* =[];
Vous utiliserez, par exemple le programme pour répondre aux questions suivantes:
  1. Calculez les valeurs propres de A et la plus petite ;
  2. Réaliser un programme qui calcule 4 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
    (à partir de , calculer avec k=1...4) pour minimiser ;
  3. vous calculerez pour chaque iteration, g'*g , le carré de la norme du gradient; puis
  4. vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
  5. vous calculerez pour chaque iteration: où est la valeur approchée de l'iteration courante et la valeur maximale de cette erreur au cours des itérations
  6. Vous comparerez et et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
    Debogue [], errsg=

    grad_quad, err_on_g, unsuralpha

    We consider: , with the solution of the linear system
    or for copy and paste: A=[]; F=[]; x0=[]; xstar =[];
    You use, for example the programm to answer the following questions :
    1. Compute the eigenvalues of ; give out , the smallest eigenvalue of ;
    2. Carry out a programm which compute 4 iterations of the gradient method with optimal step
      (starting from , compute with k=1...4) to minimize
      ;
    3. you compute for each iteration, g'*g , the square of the gradient norm; then (g'*A*g)
    4. you introduce in your programm 2 tests to get out of the loop:
      • gag=g'*Ag
      • if( abs(gag) <= 10^(-10) )
      • break
      • end
    5. you compute for each iteration: where is the approximation oft he current iteration and then the maximal value of this error during the iterations.
    6. You comparere and and explain in a written paper this last result.

    Debug errsg=, A=[] [], errsg=

    grad_quad, err_sur_g, unsuralpha

    On considère: , avec la solution la solution du système linéaire
    ou pour copier coller: A=[]; F=[]; x0=[]; xstar =[];
    Vous utiliserez, par exemple le programme pour répondre aux questions suivantes:
    1. Calculez les valeurs propres de A; avec , la plus petite valeur propre de A;
    2. Réaliser un programme qui calcule 4 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
      (à partir de , calculer avec k=1...4) pour minimiser ;
    3. vous calculerez pour chaque iteration, g'*g , le carré de la norme du gradient; puis (g'*A*g)
    4. vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
      • gag=g'*Ag
      • if( abs(gag) <= 10^(-10) )
      • break
      • end
    5. vous calculerez pour chaque iteration: où est la valeur approchée de l'iteration courante et la valeur maximale de cette erreur au cours des itérations
    6. Vous comparerez et et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
      Debogue errsg=, A=[] [], errsg=

      grad_quad, one step 5D, gk, gk+1- gk

      We consider: ,
      , with the solution of the linear system ,
      or copy and paste:
      A=[];
      F=[]; x0=[]; xstar =[];
      You use such program like \ (Scilab) to answer the following questions:
      1. Make a program that computes 2 iterations of the gradient method with optimal step
        to minimize \ (J (x) = x '* A * x / 2-x' * F);
      2. you calculate for each of the 2 iterations, \ (| | g_0 | | ^ 2 | | g_1 | | ^ 2)
        the square of the norm of the gradient, with \ (g_k = \ (vector grad J (x_k)))
      3. you enter in your program two tests to get out of do loop:
        • gag=g'A*g
        • if( abs(gag) <= 10^(-10) )
        • / / in this case \ (g1 = 0)
        • end
      4. You will compare \ (| | g_0 | |, | | g_1 | |, | | g_1-g_0 | |) and explain in writing the result.
        Debugging

      grad_quad, un pas 5D, gk, gk+1- gk

      On considère: ,
      , avec la solution la solution du système linéaire
      ou pour copier coller:
      A=[];
      F=[]; x0=[]; xstar =[]
      Vous utiliserez, par exemple le programme pour répondre aux questions suivantes:
      1. Réaliser un programme qui calcule 2 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
        pour minimiser ;
      2. vous calculerez pour chacune des 2 iterations, ,
        le carre de la norme du gradient, avec ,
      3. vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
        • gag=g'A*g
        • if( abs(gag) <= 10^(-10) )
        • //dans ce cas
        • end
      4. Vous comparerez et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
        Debogue

        grad_quad, one step gk, gk+1- gk

        We consider: , with
        the solution of the linear system
        the initial point ; or for copy and paste:
        A=[], F=[], x0=[], xstar =[]
        You may use, for example the programm to answer the following questions :
        1. Produce a programm to compute 2 iterations of the gradient method with optimal step
          to minimize ;
        2. for each of the 2 iterations you will compute ,
          the square of the gradient norm with ,
        3. you will introduce in your program two tests to get out of the do loop:
          • gag=g'*A*g
          • if( abs(gag) <= 10^(-10) )
          • // in this case remains at zero
          • end
        4. You will compare and explain this last result in a written paper.
          Debug iter=, itessai=, errsg=

          grad_quad, un pas gk, gk+1- gk

          On considère: , avec
          la solution la solution du système linéaire
          le point initial; ou pour copier coller:
          A=[], F=[], x0=[], xstar =[]
          Vous utiliserez, par exemple le programme pour répondre aux questions suivantes:
          1. Réaliser un programme qui calcule 2 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
            pour minimiser ;
          2. vous calculerez pour chacune des 2 iterations, ,
            le carre de la norme du gradient avec ,
          3. vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
            • gag=g'*A*g
            • if( abs(gag) <= 10^(-10) )
            • // dans ce cas est laisse a zero
            • end
          4. Vous comparerez et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
            Debogue iter=, itessai=, errsg=

            min f quad pos def or not

            In with precision , is the matrix positive definite?
            Does the function function admits a unique minimum ?
            with where E=[] and b=[];
            Answer with yes or no
            solve the linear sytem AX=b and provide ; in case of non unicity answer 3.333 for the component de Compute the point x where the minimum of J is reached and provide ; in case of non unicity answer 3.333 for the component dof
            debug:#### quest=, absdeter=,

            min f quad def pos ou pas

            Dans avec la précision , la matrice est-elle défine positive?
            la fonction admet-elle un minimum unique?
            avec et E=[] avec b=[];
            Repondre par oui ou non
            Résoudre le sytème linéaire AX=b et fournir ; en cas de non unicité répondre 3.3 à la composante de Calculer le point x ou est atteint le minimum de J et fournir ; en cas de non unicité répondre 3.333 à la composante de
            debug:#### quest=, absdeter=,

            min rho, quadratic function

            Compute in the value of where the function gets its minimum; the component of the point
            where with the function
            at the point x=[],
            with b=[], A=[], w=[]
            debug:#### [], , , quest=

            min rho, fonction quadratique

            Calculer dans la valeur de où la fonction atteint son minimum; la composante du point où avec la fonction au point x=[],
            avec b=[], A=[], w=[]
            debug:#### [], , , quest=

            question 2 redact sauf les 2(nsansredac)

            Enregistrez les numeros de vos exercices à rédiger: et

            Rédigez la solution des exercices et

            numexom1= numexo= numexo2= pg= exos 1 et 2 pas tires! The most recent version
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            • Description: verifier numeriquement des proprietes. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games, Pôle Formation CFAI-CENTRE
            • Keywords: CFAI,interactive math, server side interactivity, , optimisation, minimisation, algorithme du gradient, scilab, octave