Géométrie du plan complexe

Définition

En particulier, l'affixe de $M$ est égal à celui de $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est $z_B-z_A$ quand $A$ et $B$ sont des points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.

Proposition

Démonstration

Exercice

Ces descriptions sont des applications directes des propriétés du module et de l'argument d'un nombre complexes.
Soient $A$, $B$ et $M$ des points d'affixes respectives $a$, $b$ et $m$.

1. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m-a\mid =\mid m-b\mid$ est la médiatrice de $[AB]$, ensemble des points équidistants de $A$ et $B$.
2. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m-a\mid =\mid a-b\mid$ est le cercle centré en $A$ passant par $B$.
3. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m\mid <1$ est le disque unité ouvert (c'est-à-dire le disque sans le cercle unité).
4. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m\mid \le 1$ est le disque unité fermé (c'est-à-dire avec le cercle unité).
5. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m+\overline{m}=1$ ne contient pas $O$ donc on peut poser $m={\mathrm{re}}^{i\theta }$ ; la condition s'écrit alors $2r\cos (\theta )=1$. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m+\overline{m}=1$ est la droite $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
6. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m-\overline{m}=\text{i}$ ne contient pas $O$ donc on peut poser $m={\mathrm{re}}^{\text{i}\theta }$ ; la condition s'écrit alors $2r\sin (\theta )=1$. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m-\overline{m}=\text{i}$ est la droite $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
7. Les points $M$ tel que ${\displaystyle {\displaystyle \frac{m-a}{m-b}}}$ soit égal à $\pm \text{i}$ sont les intersections du cercle de diamètre $[AB]$ et de la médiatrice de $[AB]$ en effet le triangle $ABM$ est rectangle isocèle en $M$.
8. Les points $M$ tel que ${\displaystyle {\displaystyle \frac{m-a}{m-b}}}$ soit un imaginaire pur sont les points différents de $B$ du cercle de diamètre $[AB]$ en effet le triangle $ABM$ est rectangle en $M$.
   

Exercices

Les transformations présentées ici sont définies dans le document Isométries du plan sauf l'homothétie (voir ici ).
On considère $M$ et $M\prime$ d'affixes respectifs $z$ et $z\prime$.

• La transformation $R_{1,b}$ est la translation de vecteur $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ d'affixe b. En effet, de $z\prime =z+b$, on tire : $\overrightarrow{\mathrm{MM}\prime }=\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ puisque $z\prime -z$ est l'affixe de $\overrightarrow{\mathrm{MM}\prime }$.
• La transformation $R_{-1,2c}$ est la symétrie centrale de centre $C$ d'affixe $c$. en effet, de $z\prime =-z+2c$, on tire $c={\displaystyle \frac{z+z\prime }{2}}$ donc $C$ est le milieu de $[MM\prime ]$.
• Pour ${\displaystyle \lambda }$ réel, non nul et différent de $1$, et $c\in ℂ$, $R_{\lambda ,c(1-\lambda )}$ est l'homothétie de centre $C$ d'affixe $c$ et de rapport ${\displaystyle \lambda }$. En effet, pour $M\prime =h(C,\lambda )(M)$, on a : $z\prime -c=\lambda (z-c)$.
• Pour $\theta \ne 0$, l'image de $M$ par la rotation de centre $C$ d'affixe $c$ et d'angle ${\displaystyle \theta }$ est le point $M\prime$ dont l'affixe vérifie :
  ${\displaystyle z\prime -c=e^{i\theta }(z-c)}$
• La transformation $S_{1,0}$ est la réflexion d'axe $y=0$ : $z\prime =\overline{z}$.
• Pour $\theta \ne 0$ et $a=e^{i\theta }$, $S_{a,0}$ est la réflexion d'axe ${\displaystyle \Delta }$ où ${\displaystyle \Delta }$ est la droite passant par $O$ et tel que $((\mathrm{Ox}),\Delta )={\displaystyle \frac{\theta }{2}}$. En effet, de $S_{a,0}(z)=e^{i\theta }\overline{z}$, on tire : $S_{a,0}\circ S_{1,0}=R(e^{i\theta },0)$.

Exercice

Proposition

Démonstration

III-1-1 Etude de $z\prime =az+b$

III-1-2 Exemple

Proposition

Démonstration

Soit $f$ l'application du plan complexe définie par : Comme $f(z)$ est de la forme $\mathrm{az}+b$ avec $a=e^{-\text{i}\pi /3}$ de module $1$, $f$ est une isométrie positive qui n'est pas une translation donc c'est une rotation.
Son centre est le point $C$ d'affixe $c$ vérifiant l'équation au point fixe : donc $C$ a pour affixe $4$.
L'angle de $f$ est l'argument de $a={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\text{i}\sqrt{3})$ soit $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
Pour conclure, $f$ est la rotation $\rho (C,-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ où $C$ le point d'affixe $4$.

Remarque

III-2-1 Etude de $z\prime =a\overline{z}+b$

III-2-2 Exemple

Proposition

Démonstration

Remarque

Soit $g_b$ l'application du plan complexe définie par Comme $g_b(z)$ est de la forme $a\overline{z}+b$ avec $a=e^{\text{i}\pi /4}$ de module $1$, $g_b$ est un antidéplacement, c'est-à-dire une réflexion ou une symétrie glissée. Dans les deux cas, le point $C$ d'affixe $c={\displaystyle \frac{b}{2}}$ est un point de l'axe ${\displaystyle \Delta }$ de cet antidéplacement ; en effet $C$ est le milieu de $[{\mathrm{Og}}_b(O)]$.
$•$ Si $b$ est nul, le point $C$ est confondu avec $O$ qui est fixe et $g_0$ est une réflexion, son axe ${\displaystyle \Delta }$ est la droite passant par $O$ et faisant un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ avec l'axe des abscisses (voir ici ).
$•$ Si $b$ n'est pas nul, posons $b={\mathrm{ke}}^{\text{i}\beta }$ et notons $B$ le point d'affixe $b$. Soit $c\prime =g_b(c)=k({\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{\text{i}\pi /4}{e}^{-\text{i}\beta }+e^{\text{i}\beta })$. Le point $C$ est fixe si et seulement si on a $c\prime =c$. Or on a : Dans le cas où $b$ n'est pas nul, $C$ est fixe si et seulement si ${\displaystyle \beta }$ vérifie $2\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\pi [2\pi ]$ c'est-à-dire $\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[\pi ]$.
Soit ${\displaystyle \Delta \prime }$ la droite passant par $O$ et faisant un angle de $-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$ avec l'axe des abscisses. On a donc montré que $C$ est fixe si et seulement si $B$ appartient à la droite ${\displaystyle \Delta \prime }$. On remarque que, dans ce cas, $C$ appartient aussi à ${\displaystyle \Delta \prime }$.
$•$ En résumé si $B$ appartient à ${\displaystyle \Delta \prime }$, $g_b$ admet un point fixe $C$, c'est la réflexion d'axe ${\displaystyle \Delta }$ passant par $O$ et faisant un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ avec l'axe des abscisses. Evidemment ${\displaystyle \Delta }$ est la médiatrice de $[\mathrm{OB}]$ et donc perpendiculaire à ${\displaystyle \Delta \prime }$.
$•$ Quand $B$ n'appartient pas à $\Delta \prime$, $C$ n'est pas fixe et $g_b$ n'a alors aucun point fixe, c'est une symétrie glissée d'axe passant par $O$ et faisant un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ avec l'axe des abscisses. Le vecteur de la translation est $\overrightarrow{\mathrm{CC}\prime }$, il dirige l'axe et son affixe est $d={\displaystyle \frac{1}{2}}k(e^{\text{i}\pi /4}{e}^{-\text{i}\beta }+e^{\text{i}\beta })$. On peut écrire Dans cette expression, on voit clairement que l'argument de $d$ est ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$

1. Dans cet exercice, il s'agit de déterminer le type d'une isométrie donnée en écriture complexe et ses éléments caractéristiques.
   Isométries en complexes
2. Dans celui-ci, on s'intéresse aux points fixes de la transformation.
   Points fixes d'une isométrie

Définition

Exemple

Sur la figure mobile (merci à Chantal Causse), l'image du F bleu par l'homothétie de centre I et de rapport k (qui peut varier grâce au curseur) est le F vert. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

Le polygone hachuré en vert est l'image du grand pentagone orange par l'homothétie de centre $F$ et de rapport $k$ donné par le curseur. On remarque qu'il est régulier et que ses côtés sont parallèles à ceux du grand.

Proposition

Pour la démonstration de ces propriétés, on renvoie à celles des propriétés de la symétries centrale (voir propriétés des symétries centrales et droites invariantes dans le cours Isométries de plan.)

• Exercice de calcul
  Image par homothétie ou translation
  
• Exercices graphiques
  Image de points par une homothétie
  Image d'un triangle par une homothétie (1)
  Image d'un triangle par une homothétie (2)

Définition

Une similitude est donc de la forme $R_{a,b}$ si elle est directe ou $S_{a,b}$ si elle est indirecte.
Réciproquement, l'application $R_{a,b}$ (resp. $S_{a,b}$) est une similitude directe (resp. indirecte). En effet, quand on la compose par l'homothétie $R(\mid a{\mid }^{-1},0)$ de centre $O$ et de rapport $\mid a{\mid }^{-1}$, on obtient une isométrie positive (resp. négative).

Proposition

Définition

Voici quelques exemples de similitudes et une remarque importante sur la décomposition d'une similitude.

Exemples

Remarque

On va maintenant montrer qu'on peut écrire une similitude qui n'est pas une isométrie comme composée commutative d'une homothétie et d'une isométrie à point fixe.

Proposition

Démonstration

Soit $s$ est une similitude directe $R_{a,b}$ qui n'est pas une isométrie ( $\mid a\mid \ne 1$). Le point $C$ est fixe par $s$ si et seulement si $c$ vérifie $c=\mathrm{ac}+b$ ; cette équation aux points fixes a une unique solution : $c={\displaystyle \frac{b}{1-a}}$ puisque $a$ ne peut être égal à $1$.

Proposition

Figure : Image d'un carré par une similitude directe.
Le carré $AODE$ est l'image de $ABCD$ par la similitude de centre $A$ d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et de rapport ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. On peut afficher l'image de $AODE$ par la rotation $\rho (O,{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$.

Considérons maintenant le cas d'une similitude indirecte $S_{a,b}$ qui n'est pas une isométrie ( $\mid a\mid \ne 1$) et recherchons les éventuels points fixes de $S_{a,b}$.
Si $c$ est un point fixe de $S_{a,b}$, alors $c$ est un point fixe de $S_{a,b}\circ S_{a,b}$. La réciproque est fausse, il suffit de considérer une réflexion : son carré est l'identité, donc admet tout point comme point fixe.
Déterminons donc les éventuels points fixes de $S_{a,b}\circ S_{a,b}$ : Comme on a supposé $\mid a\mid \ne 1$, l'application $S_{a,b}\circ S_{a,b}$ a un unique point fixe $C$ d'affixe $c={\displaystyle \frac{a\overline{b}+b}{1-\mid a{\mid }^2}}$.
Vérifions que $C$ est point fixe de $S_{a,b}$. On a bien $S_{a,b}(c)=c$.

Proposition

Figure : Image d'un triangle par une similitude indirecte.
Le triangle $PEQ$ est l'image de $AEF$ par la similitude de centre $E$ d'axe $(EF)$ et de rapport $k$. On peut faire apparaître le symétrique $AEF$ par rapport à $(EF)$.