Doc Théorème de Bolyai

Sommaire

Si deux figures sont obtenues en disposant les mêmes pièces d'un tangram, elles ont évidemment même aire. Le théorème de Bolyai affirme qu'il suffit que deux polygones aient même aire pour qu'il existe un jeu de pièces polygonales qui permette d'obtenir par recollement l'un ou l'autre des polygones.
La démonstration de ce théorème est un peu longue mais assez élémentaire ; elle donne des méthodes de découpage. Dans les cas particuliers , on cherchera des solutions plus élégantes.

Equivalence par découpage et recollement

1. Définition
2. Propriétés
3. Transitivité

Théorème de Bolyai

• Enoncé
• Démonstration

Quelques exercices

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Ce document accompagne une partie du cours de géométrie de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) Mathématiques d'école, nombres, mesures et géométrie (Editions Cassini).
On consultera avec profit Aires et volumes : découpage et recollement (I), un article de Daniel Perrin en ligne sur Images des Mathématiques, CNRS.
Les figures mobiles utilisent Geogebra. Certaines sont dues à Daniel Perrin.

Quelques exercices

Dans chaque cas, on précisera comment le découpage est obtenu et on justifiera le recollement.

1. Proposer un découpage d'un carré permettant d'obtenir par recollement deux carrés de même aire.
2. Proposer un découpage d'un carré de côté $a$ permettant d'obtenir par recollement deux carrés de côtés $b$ et $c$ ou l'inverse .
3. Proposer un découpage d'un rectangle permettant d'obtenir par recollement un carré. Découpages
4. Proposer un découpage d'un carré permettant d'obtenir par recollement trois carrés de même aire.
5. Proposer un découpage de trois carrés de même aire permettant d'obtenir par recollement un carré. figure
6. Partager un carré en $p$ triangles de même aire ( indication )
7. Trois variantes d'un même problème :
   • Découper un carré pour obtenir par recollement 5 carrés de même aire.
   • Avec 5 carreaux de céramique identiques, carreler un grand carré.
   • Transformer une croix rouge en carré en deux coups de ciseaux.
8. Un calisson a la forme d'un losange formé de deux triangles équilatéraux dont on notera $a$ la longueur du côté. Ranger des calissons dans une boîte de la forme d'un calisson de côté $2a$ puis dans une boîte de forme hexagonale de côté $a$ puis de côté $2a$.
9. Problème du pâtissier .
10. Proposer un découpage d'un hexagone (resp. pentagone) convexe régulier en deux hexagones (resp. pentagones) convexes réguliers.
11. Proposer un découpage d'un triangle équilatéral (resp. hexagone régulier) en trois triangles équilatéraux (resp. hexagones réguliers).

Découpage d'un rectangle pour obtenir un carré

Construction d'un carré $\mathrm{AEFG}$ de même aire qu'un rectangle $\mathrm{ABCD}$ donné.

1. Construire un rectangle ABCD de longueur AB et de largeur AD.
2. Construire le côté AE d'un carré de même aire que ABCD en utilisant un demi-cercle de diamètre $[\mathrm{AB}]$ (de centre $O$). On utilise la relation ${\mathrm{AE}}^2=\mathrm{AH}\times \mathrm{AB}$ dans le triangle rectangle AEB où H est le pied de la hauteur issue de E. Ici $H$ est donc l'intersection de $𝒞(A,\mathrm{AD})$ et de $[\mathrm{AB}]$ de sorte qu'on ait ${\mathrm{AE}}^2=\mathrm{AD}\times \mathrm{AB}$.
3. Le sommet $F$ du carré est sur la droite $(\mathrm{EB})$. Pourquoi ?
4. Le sommet $G$ du carré est l'autre intersection des cercles $𝒞(A,\mathrm{AE})$ et $𝒞(F,\mathrm{FE})$.

Découpages possibles

Plusieurs cas de figure peuvent se présenter selon que la largeur du rectangle est supérieure ou inférieure à la moitié de la longueur et selon le demi-cercle où est inscrit le triangle rectangle de la construction. J'ai choisi dans ces figures de construire $E$ du même côté de $(\mathrm{AB})$ que $(\mathrm{CD})$ (l'autre cas est disponible dans un pli).
Les polygones de même couleur sont isométriques. Il reste à le démontrer.
Cas : $H$ est entre $A$ et $O$.

Dans cette autre construction, le puzzle n'a que 4 pièces si on garde d'un seul tenant la pièce jaune et la pièce orange.
Cas : $H$ est entre $B$ et $O$. Le coloriage limite les parties dont on montrera qu'elles sont isométriques. Pour le puzzle, deux coups de ciseaux et trois morceaux suffisent.

Découper trois carrés de même aire pour obtenir un seul carré

Animer le curseur pour obtenir le grand carré.

Partager un carré en p triangle de même aire

Partager un carré en $p$ triangles de même aire n'est possible que dans le cas $p$ pair. Voici des solutions pour $p=2$, $4$ ou $6$.

Problème du pâtissier

Comment mettre la tarte dans le moule ? On peut retourner la tarte dans le moule, les fruits au fond, ou découper la tarte et placer les morceaux fruits au-dessus dans le moule. Le pâtissier connaît le théorème de Bolyai donc il sait que la deuxième méthode est possible.
Proposez une solution à quatre morceaux ( figure ) et une à trois seulement ( figure ) .

Une solution du problème du patissier en 4 morceaux

Pour ce découpage, on trace une hauteur dont le pied est sur un côté et on découpe les deux triangles rectangles chacun en deux triangles isocèles qui sont donc symétriques.

Solution du problème du pâtissier en 3 morceaux

Comment est choisi le point $M$ ?

Découpage et recollement de polygones

Exemple : Le pentagone est équivalent au trapèze.

Propriétés

(3) signifie que ~ vérifie trois propriétés :

1. la réflexivité : $A~A$
2. la symétrie : $A~B$ implique $B~A$
3. la transitivité explicitée ici est la clé de la démonstration du théorème de Bolyai.

Transitivité

Ici, on a trouvé un découpage du carré $A$ qui permet d'obtenir le rectangle $R_A$ par recollement et un découpage du triangle $B$ qui permet d'obtenir le rectangle $R_B$ par recollement. Comme $A$ et $B$ ont même aire les rectangles $R_A$et $R_B$, de largeur 1, ont même longueur, ils sont isométriques. En superposant le découpage rouge et le découpage bleu de $R$, on obtient un découpage vert de $R$ en morceaux plus nombreux qui permettent d'obtenir par recollement soit $A$, soit $B$.

Théorème de Bolyai

Exemple : Le découpage de Dudeney

La démonstration assez longue utilise sans cesse la transitivité de la relation ~ puisque par étape on passe d'un polygone $A$ à un rectangle $R$ équivalent à $A$ dont un côté a pour longueur l'unité. Les découpages utilisés sont exemplaires de la méthode mais dans les exercices on s'attachera à produire des découpages en peu de pièces.

Démonstration

Remarque: Ce résultat ne se généralise pas aux volumes. En général, deux polyèdres de même volume ne sont pas équivalents par découpage et recollement. Pour plus de détails, consulter Aires et volumes : découpage et recollement (II), un article de Daniel Perrin en ligne sur Images des Mathématiques, CNRS.

Le découpage de Dudeney

Voici la figure du découpage de Dudeney, objet d'un problème du chapitre 7 de Mathématiques d'école.
On obtient le carré par découpage et recollement du triangle.

Démonstration

Avec le temps, Daniel Perrin simplifie la démonstration du théorème de Bolyai.

Etapes de la démonstration, version de Mathématiques d'école améliorée

Dans cette démonstration, la figure de référence est un rectangle de côté de longueur 1.

1. Lemme fondamental
2. Du polygone au triangle
3. Du triangle au parallélogramme
4. Parallélogramme de côté inférieur à 1
5. Parallélogramme de côté de longueur 1
6. Du parallèlogramme au rectangle

Dans le livre Mathématiques d'école, le passage d'un parallélogramme quelconque à un parallélogramme de longueur $1$ est plus compliqué. Vous trouverez ici les figures de la démonstration du livre.

Etapes de la démonstration, version de l'exposé du 4 février 2018

Dans cette démonstration inspirée par André Deledicq, la figure de référence est un carré de même aire que les polygones à découper.

1. Lemme fondamental
2. D'un polygone au triangle
3. Du triangle au rectangle
4. Du rectangle au carré
5. Ce n'est pas si simple
6. De deux carrés à un seul

Lemme fondamental

Ce lemme implique le théorème de Bolyai en effet si $A$ et $B$ sont de même aire, ils seront équivalents par découpage et recollement l'un à $R_A$, l'autre à $R_B$. Or comme $R_A$ et $R_B$ ont un côté de longueur l'unité et sont de même aire, ils sont isométriques donc équivalents. Par transitivité $A$ et $B$ le seront aussi.
C'est le cas illustré dans la présentation de la transitivité de la relation ~ .

Du polygone au triangle

Si on peut trouver un découpage de n'importe quel triangle qui permette d'obtenir par recollement un rectangle dont un côté est de longueur 1, on pourra le faire pour tout polygone. En effet, on peut découper tout polygone en triangles. Il suffit donc de montrer le lemme fondamental pour les triangles.

Du triangle au parallélogramme

On découpe le triangle $\mathrm{ABC}$ selon la droite des milieux $(MN)$ et on fait tourner le petit triangle rouge $AMN$ autour du point $N$ en déplaçant le point $A\prime$. Le découpage de $ABC$ en deux parties permet d'obtenir par recollement le parallélogramme $BMND$.
Sur la figure, bouger le point $A$ change l'allure du triangle $\mathrm{ABC}$.

Parallélogramme de côté inférieur à 1

Nous passons maintenant par découpage et recollement d'un parallélogramme quelconque à un parallélogramme de côté de longueur inférieure à $1$.

Sur cette figure, la longueur du côté $[AB]$ du parallélogramme $𝒫=ABCD$ est inférieure à $4$. Le découpage en 4 parallélogrammes permet d'obtenir le parallélogramme $𝒫\prime =A\prime BC\prime D\prime$ équivalent avec $A\prime B$ inférieur à $1$.
La longueur de l'autre côté a été multipliée par $4$ ; pour assurer une longueur $AD\prime$ supérieure à $1$, il suffit de découper encore de la même façon pour allonger $[AD\prime ]$.
Déplacez les parallélogrammes en bougeant les points $E$, $F$ et $G$.

Parallélogramme de côté de longueur 1

Sur cette figure, la longueur du côté $[AB]$ du parallélogramme $𝒫\prime =ABCD$ est inférieure à $1$ et celle de $[AD]$ supérieure à $1$. On a choisi de placer l'angle aigu en $B$.
Le cercle de rayon $1$ centré en $B$ rencontre le segment $[\mathrm{AD}]$ en $A\prime$ du fait des inégalités $BA<1$ et $1<AD<BD$. Le découpage suivant permet d'obtenir un parallélogramme équivalent $𝒫\prime =A\prime BCD\prime$ avec $A\prime B$ égale à $1$.
Déplacer le triangle $ABA\prime$ en bougeant le point $H$.

Du parallèlogramme au rectangle

Voici la dernière étape qui mène au rectangle de côté 1 annoncé dans le lemme fondamental.

Il est plus ou moins immédiat de découper $𝒫$ pour obtenir un rectangle en gardant un côté de longueur $AB$ :

• Figure dans le cas favorable
• Figure dans le cas défavorable .

cas favorable

Si le pied de la hauteur se trouve sur le côté $[AB]$, il est simple de découper le parallélogramme pour obtenir un rectangle de côté l'unité.
En utilisant le point mobile $A\prime$, déplacez le triangle $A\prime H\prime D\prime$ pour transformer le parallélogramme en un rectangle.

cas défavorable

Si le pied de la hauteur du parallélogramme $ABCD$ ne se trouve pas sur le côté $[AB]$, on découpe, par des droites parallèles à $[AB]$, le parallélogramme en tranches suffisamment petites afin de pouvoir transformer chaque petit parallélogramme en un rectangle comme dans le cas favorable . Faites-le en déplaçant les points $P$, $Q$, $R$ et $S$.
Il suffit ensuite d'empiler les rectangles obtenus en un rectangle de côté l'unité. Faites-le en déplaçant les points $T$, $U$, $V$ et $W$.

Parallélogramme de côté particulier

Nous allons passer par découpage et recollement en trois étapes d'un parallélogramme quelconque à un parallélogramme de côté une unité.

1. Côté de longueur rationnelle
2. Côté de longueur entière
3. Côté de longueur une unité

Du parallèlogramme au rectangle
Sur les figures, bouger le point $A$ permet de modifier l'allure et l'aire des parallélogrammes.

Côté de longueur rationnelle

Sur la figure, le point $A\prime$ est mobile, on choisit sa position de telle sorte que la longueur $BA\prime$ soit rationnelle. Le parallélogramme $ABCD$ est réunion du quadrilatère $A\prime BCD$ et du triangle $ABA\prime$ et $A\prime BCD\prime$ est réunion du même quadrilatère $A\prime BCD$ et du triangle $DCD\prime$ translaté de $ABA\prime$.

Côté de longueur entière

Le côté $[AB]$ du parallélogramme $ABCD$ a pour longueur ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ d'unité. Le côté $[A\prime B\prime ]$ du parallélogramme $A\prime B\prime C\prime D\prime$ (obtenu par découpage et recollement à partir de $ABCD$) a pour longueur $4$ unités.

Côté de longueur une unité

Le côté $[BC]$ du parallélogramme $ABCD$ a pour longueur $4$ unités. Le côté $[BC\prime ]$ du parallélogramme $A\prime BC\prime D\prime$ (obtenu par découpage et recollement à partir de $ABCD$ a pour longueur une unité.

Les points $E$, $F$ et $G$ sont mobiles. On peut ainsi obtenir le parallélogramme $A\prime BC\prime D\prime$ avec des parties de $ABCD$.

Lemme fondamental

D'un polygone au triangle

On peut découper un polygone donné en triangles

Du triangle au rectangle

Du rectangle au carré

Indications pour la construction : Si l'aire du rectangle est $A$, le côté du carré équivalent à ce rectangle est $\sqrt{A}$. La construction à la règle et au compas de la racine carrée d'un nombre donné est décrite au chapitre 6 de Mathématiques d'école.

Ce n'est pas si simple

Attention ! le découpage précédent est valide seulement si la largeur du rectangle est supérieure à la moitié du côté du carré. Sinon, on découpe le rectangle en rectangles de longueurs plus petites pour pouvoir appliquer la construction. L'étape suivante indique comment découper deux carrés pour en faire une seul.

De deux carrés à un seul

Pour lancer l'animation, appuyez sur la flèche quand la case carré est cochée.