Fractions rationnelles

Guide

Définition d'un élément simple
Théorème
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R
Calcul de la partie entière
- Division euclidienne
Calcul de la partie polaire
- Le degré de Q est 2 et le degré de P est strictement inférieur à 2
- Cas où le dénominateur est de degré 3
Exercices : Exercices de calcul : (de plus en plus de calculs !)
- Pôles réels simples
- Pôles réels simples
- Pôles réels simples et partie entière
- Pôles réels simples et partie entière
- Pôles réels et complexes
- Partie entière, pôles réels et complexes
Reconnaître si une expression peut être le développement en éléments simples d'une fraction rationnelle :
- Reconnaître
- Reconnaître
- Reconnaître
Algorithme général

Définition d'un élément simple

On appelle fraction rationnelle (sur

) toute fonction

f

définie par une relation de la forme

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$

où

P

Q

sont des polynômes à coefficients réels.

Par exemple,

ou encore

On note

ℝ (X)

l'ensemble des fractions rationnelles sur

On appelle élément simple de

ℝ (X)

une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :

type "racine réelle" : $\frac{a}{{(x - u)}^{k}}$ avec $a$ et $u$ des nombres réels et $k$ un entier.
Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme $x - u$ où $u$ est un réel.
type "racines complexes conjuguées" : $\frac{a x + b}{{(x^{2} + p x + q)}^{k}}$ où $a$ , $b$ sont des réels, où $p$ , $q$ sont des réels vérifiant $p^{2} - 4 q < 0$ et où $k$ est un entier naturel non nul. Cet élément simple a pour numérateur un polynôme de degré 1 et pour dénominateur une puissance d'un trinôme sans racine réelle.

Théorème

Théorème : Toute fraction rationnelle sur

s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (appelé partie entière) et d'éléments simples (appelé partie polaire) dont le type est déterminé par le dénominateur de la fraction rationnelle qu'on décompose.

Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.

Calcul de la partie entière
Calcul de la partie polaire

Des techniques ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle

\frac{P}{Q}

, c'est-à-dire les racines du polynôme

Q

.
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Soit

\frac{P (x)}{Q (x)}

une fraction rationnelle avec

$Q (x) = \prod_{i = 1}^{r} (x - u_{i})^{n_{i}} \prod_{j = 1}^{s} (x^{2} + p_{j} x + q_{j})^{m_{j}}$

avec les u_i des réels, les p_j et les q_j des réels tels que

p_{j}^{2} - 4 q_{j} < 0

et les n_i et les m_j des entiers strictement positifs.

Théorème : Il existe une et une seule décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) et elle est de la forme :

$\frac{P (x)}{Q (x)} = E (x) + \sum_{i = 1}^{r} \sum_{l = 1}^{n_{i}} \frac{A_{i, l}}{(x - u_{i})^{l}} + \sum_{j = 1}^{s} \sum_{k = 1}^{m_{j}} \frac{B_{j, k} + C_{j, k} x}{(x^{2} + p_{j} x + q_{j})^{k}}$

avec

E un polynôme nul ou de degré égal à deg(P)-deg(Q),
les A_i,l, les B_j,k et les C_j,k des réels

De plus si la fraction est irréductible (c'est-à-dire qu'elle ne se simplifie pas), les A_{i,n_i} sont tous non nuls et les polynômes B_{j,m_j}+C_{j,m_j}x sont tous non nuls (c'est-à-dire que soit B_{j,m_j}, soit C_{j,m_j} est non nul)

Calcul de la partie entière

Proposition : La partie entière

E (x)

de la fraction rationnelle

\frac{P (x)}{Q (x)}

est le quotient de

P

par

Q

dans la division euclidienne de

P

par

Q

Ainsi :

$P (x) = E (x) Q (x) + R (x)$

avec

\deg (R) < \deg (Q)

) et

$\frac{P (x)}{Q (x)} = E (x) + \frac{R (x)}{Q (x)}$

On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Comment faire la division euclidienne ?

Division euclidienne

Faisons la division euclidienne sur des exemples. N'hésitez pas à recommencer . Et allez voir ensuite comment poser la division euclidienne .

Prenons $P (x)$ =, $Q (x)$ = alors :

=()() +()

c'est-à-dire

P = EQ + R

avec E(x) = et R(x) = . Bien remarquer que le degré de R qui est est strictement inférieur à NaN. Effectuons la division : on écrit avec P=P₀:

P₀(x)= Q +

Le degré de

P_{1} =

est strictement plus petit que celui de

P_{0}

. Il est aussi strictement inférieur à celui de Q, on a donc fini ; le reste est P₁= ; le quotient est obtenu en ajoutant les monômes en rouge.
En général, on pose la division euclidienne de la manière suivante

Calcul de la partie polaire

On suppose maintenant que l'on cherche à décomposer la fraction rationnelle P(x)/Q(x) en éléments simples quand deg(P) < deg(Q). Dans cette situation, la partie entière est nulle.
On étudie en détail les cas particuliers suivants et on précise dans ces cas particuliers le théorème

Le dénominateur est de degré 2.
Le dénominateur est de degré 3.

Le degré de Q est 3 et celui de P est inférieur ou égal à 2

Soit une fraction rationnelle P(x)/Q(x) telle que le degré de Q est égal à 3 et le degré de P est au plus égal à 2. Suivant les racines du dénominateur, sa décomposition prendra l'une des formes suivantes où a, b, c, A, B, C sont des réels :

Si Q(x) admet 3 racines simples distinctes réelles
$\frac{P (x)}{(x - u) (x - v) (x - w)} = \frac{A}{x - u} + \frac{B}{x - v} + \frac{C}{x - w}$
Pour calculer A : on utilise la Technique 1
On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à $x$ la valeur $u$ . On obtient immédiatement $\frac{A}{x - u}$ .

et de même pour B et C
Exemple
Si Q(x) admet 1 racine simple et 1 racine double réelle :

$\frac{P (x)}{(x - u) (x - v)^{2}} = \frac{A}{(x - u)} + \frac{B}{x - v} + \frac{C}{(x - v)^{2}}$

Technique
On calcule A et C par la technique 1 et la technique 2 donne la valeur de A + B. Technique 1
On multiplie l'égalité ci-dessus par (x - v)², puis on donne à x la valeur v. On obtient immédiatement le coefficient de $\frac{1}{{(x - v)}^{2}}$ .

Technique 1
On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à $x$ la valeur $u$ . On obtient immédiatement $\frac{A}{x - u}$ .
Technique 2
On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.

Exemple
Si Q(x) admet 1 racine simple réelle et 2 racines complexes conjuguées :

$\frac{P (x)}{(x - u) (x^{2} + p x + q)} = \frac{A}{x - u} + \frac{Bx + C}{x^{2} + p x + q}$

Technique
On calcule
- A par la technique 1
  On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à $x$ la valeur $u$ . On obtient immédiatement $\frac{A}{x - u}$ .
- B par la technique 2
  On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.
- C par la technique 3
  L'égalité de décomposition est vraie pour tout x ; en donnant à x une valeur numérique, on obtient une relation entre les coefficients des numérateurs.
Exemple
Si Q(x) admet 1 racine triple réelle :
$\frac{P (x)}{(x - u)^{3}} = \frac{A}{x - u} + \frac{B}{(x - u)^{2}} + \frac{C}{(x - u)^{3}}$
Technique
On peut calculer les trois coefficients $A$ , $B$ et $C$
- soit par les techniques précédentes
- soit en faisant le changement de variable $y = x - u$ . Le degré de $P$ est au plus 2 donc $P (y + u)$ s'écrit ay² + by + c. En divisant par y³=(x-u)³, on obtient
  $\frac{P (y + a)}{y^{3}} = \frac{a}{y} + \frac{b}{y^{2}} + \frac{c}{y^{3}}$
  et par unicité de la décomposition, on en déduit $a = A$ , $b = B$ et $c = C$ .
Exemple

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

Pour calculer A, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x=4, donc A = .
Pour calculer B, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x=-8, donc B = .
Pour calculer C, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x=11, donc C = .

Donc

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A et B tels que

Pour calculer A, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x = -2, donc A =.
Pour calculer C, on multiple par ()², on obtient donc et on prend la valeur en x = 8, donc C =.
Pour calculer B, on multiple par x et on fait tendre x vers l'infini : on obtient donc -4 = A + B= + B, donc B =.

Donc

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

Pour calculer A, on multiplie par , on obtient donc et on prend la valeur en x = -3, donc A =.
Pour calculer B, on multiplie par x et on fait tendre x vers l'infini : on obtient donc 1= A+B=+B, donc B =.
Pour calculer C, on prend une valeur particulière autre que le pôle -3, par exemple x = 0 : d'où C =.

Ainsi,

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

On fait le changement de variables x =. On a donc

Donc

Algorithme général

Pour des exemples de décomposition de la fraction P(x)/Q(x), voir Exemple

On calcule la partie entière en faisant la division euclidienne de P par Q
On calcule la partie polaire de la décomposition en éléments simples correspondant à un pôle u de multiplicité m. La fraction rationnelle s'écrit avec Q₁(u) non nul. On fait un développement limité de P/Q₁ en x = u à l'ordre m :

(en fait H est une fraction rationnelle de la forme P₁/Q₁ et donc n'ayant pas de pôle en x=u). On a donc

et la partie polaire de la décomposition en éléments simples est exactement
On fait de même pour tous les pôles.
Dans le cas où les pôles sont complexes, on peut se ramener à la décomposition sur en regroupant les décompositions correspondant à un pôle et à son conjugué.

La décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) est obtenue en ajoutant les bouts obtenus. Exemple

document sur la décomposition des fractions rationnelles dans des cas simples.
: algebraic_fraction, polynomials, CFAI,interactive math, server side interactivity

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