Probabilités conditionnelles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices autour des notions de probabilité conditionnelle d'événements et d'indépendance d'événements.

Les questions posées dépendent du niveau de difficulté défini ci-dessous dans les exercices "Indépendance d'événements : propriétés", "Probabilité conditionnelle", "Phénotypes" et "analyse d'échantillons d'eau 1".
On peut configurer ci-dessous les exercices pour obtenir des énoncés utilisant les notations en vigueur au lycée.

Analyse d'échantillons d'eau 1

Lorsque la rivière qui longe le village XXX déborde, la probabilité que la source du village soit polluée est de le lendemain. Dans le cas où cette rivière déborde, un employé municipal est chargé de prélever et d'analyser un échantillon d'eau de la source. échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon.
L'analyse d'un échantillon n'est pas totalement fiable :
Si l'eau contenue dans échantillons sur l'échantillon prélévé les échantillons prélévés est déclarée par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité pour que le maire se trompe en déclarant que l'eau

Analyse d'échantillons d'eau 2

Lorsque la rivière qui longe le village XXX déborde, la probabilité que la source du village soit polluée est de le lendemain. Dans le cas où cette rivière déborde, un employé municipal est chargé de prélever et d'analyser un échantillon d'eau de la source.
L'analyse d'un échantillon n'est pas totalement fiable :
1- Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité pour que le maire se trompe en déclarant que l'eau
?

Bonne réponse ! Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée par l'analyse effectuée, le maire a une probabilité égale à de se tromper en déclarant que l'eau .

2- On suppose que pour diminuer le risque de se tromper, l'employé municipal est chargé de prélever échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon.
Si l'eau contenue dans échantillons sur les échantillons prélévés est déclarée par l'analyse effectuée, quelle est alors la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau

Dépouillement d'un vote I

Lors d'un vote dans une entreprise, les électeurs devaient choisir entre listes. Sur les bulletins, il y a :
?

Dépouillement d'un vote II

Lors d'un vote dans une entreprise, les électeurs devaient choisir entre listes. Sur les bulletins, il y a :
1-
?

Bonne réponse ! La probabilité d'obtenir ce dépouillement est .

2- Déterminer la probabilité pour que parmi les premiers bulletins dépouillés, il y ait

Des jetons dans des sacs

On dispose de sacs contenant des jetons noirs et blancs : Une personne lance un dé à 6 faces.
  1. Quelle est la probabilité pour que le jeton tiré soit ?
    Bonne réponse, la probabilité de tirer un jeton est .
  2. On sait que la personne a tiré un jeton .
Ecrire le résultat en gardant au moins quatre chiffres significatifs.

Phénotypes

Supposons que dans une population, on observe phénotypes différents notés et avec la répartition suivante parmi les de famille : .

Le tableau suivant donne la proportion d'enfants de phénotype donné en fonction du phénotype .

Par exemple, le tableau indique que % des enfants dont est de phénotype A ont le phénotype A.

On choisit un enfant au hasard dans cette population.
  1. Quelle est la probabilité qu'il le phénotype ?
    2. Bonne réponse. La probabilité qu'il le phénotype est .
  2. L'enfant choisi le phénotype . Quelle est la probabilité que le phénotype ?
Ecrire la valeur en gardant au moins quatre chiffres significatifs.

Probabilité conditionnelle

On considère une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats est noté . On note une probabilité sur associée à cette expérience aléatoire. On s'intéresse à deux événements et qui ont une probabilité strictement comprise entre 0 et 1 d'être réalisés. On suppose connu
, et .
Donner l'expression de en fonction de , et .
Ne pas oublier de mettre l'opérateur * pour multiplier deux expressions.

Efficacité d'un vaccin

% de la population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate que la proportion de vaccinés parmi les malades est de =. On sait de plus qu'au cours de cette épidémie, il y avait une proportion de = malades parmi les vaccinés.
  1. Quel est le pourcentage de personnes qui malades durant cette épidémie ?
    2. Bonne réponse, au cours de cette épidémie, % des personnes malades.
  2. En se basant uniquement sur ces informations, quelle est la probabilité de tomber malade pour une personne non vaccinée ?
    Ecrire la probabilité en gardant au moins quatre chiffres significatifs.
    3. Bonne réponse, la probabilité de tomber malade pour une personne non vaccinée est .
  3. Le vaccin est-il efficace ?

Infection virale

Dans une population donnée, % des victimes d'une infection virale présente un symptôme qui n'atteint que % de la population non infectée. On sait de plus que % de la population présente ce symptôme.
  1. Quelle est la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population infecté ?
    Bonne réponse, la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population infecté est .
  2. Quelle est la probabilité qu'un individu présentant le symptôme infecté ?
    Bonne réponse, la probabilité qu'un individu présentant le symptôme, infecté est .
  3. Quelle est la probabilité qu'un individu ne présentant pas le symptôme, infecté ?
Ecrire la probabilité en gardant quatre chiffres significatifs.

Calculs avec des événements indépendants

On suppose que , et sont des événements indépendants de probabilité respectivement , et .

Exprimer en fonction de , et la probabilité de l'événement

Indépendance d'événements : propriétés

Soit ( ) un espace de probabilité et , et trois événements. Les affirmations suivantes sont-elles toujours vraies ?
1. Si et si , alors .
2. Si et si , alors .
3. Si et si , alors .

Signes diagnostiques

Une maladie M atteint % de la population. On s'intéresse à deux signes diagnostiques notés et . La présence d'un signe diagnostique est notée et son absence est notée . Par exemple, les individus sont ceux qui présentent le signe et qui ne présentent pas le signe .

  1. Le tableau suivant donne les proportions des différents signes diagnostiques chez les individus qui ne sont pas atteints par la maladie M :
    Répondre aux questions suivantes, en se référant au tableau.
    • Quelle probabilité un individu non malade a-t-il de ? .
    • Quelle probabilité un individu non malade a-t-il de ? .
    • Chez les individus sains, les signes diagnostiques et sont-ils indépendants ? .
  2. Chez les individus atteints de la maladie M, les proportions des différents signes diagnostiques sont :
    Quelle probabilité un individu a-t-il d'être atteint par la maladie M ?
    Ecrire les résultats numériques en gardant quatre chiffres significatifs

Traduction probabiliste

On note
Compléter l'assertion suivante : la probabilité pour que s'écrit :
P( )
The most recent version
Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.