Fonction exponentielle
Introduction
De nombreux phénomènes physiques ou économiques simples
peuvent être modélisés par une fonction
vérifiant, pour tout réel
d'un intervalle
,
où
est un coefficient réel.
D'où l'importance pratique des équations différentielles du type
avec
constante réelle.
Exemple de la décroissance radioactive :
On admet que dans les corps radioactifs, la proportion de noyaux qui se désintègrent pendant une durée de temps est proportionnelle à cette durée. L'évolution du nombre de noyaux du corps au temps se modélise alors par la loi suivante, où
est une constante positive, dépendant seulement du corps radioactif :
ce qui équivaut à
pour tout . Pour de petits intervalles de temps
(
), on assimile l'expression de gauche au nombre dérivé
. La loi prend la forme d'une
équation différentielle, càd une équation qui met en relation la fonction
et sa fonction dérivée
:
d'où pour tout . Ainsi la fonction
est solution de l'équation différentielle
sur
.
Il est assez facile de montrer que si l'on sait résoudre l'équation différentielle
avec
, alors on sait résoudre les équations
avec
quelconque.
On va s'intéresser plus particulièrement à l'équation
et l'on va chercher les éventuelles solutions de cette équation différentielle
en imposant comme condition initiale
.
Plan
1. Définitions
Conjecture d'existence : Grâce à la méthode d'Euler on conjecture l'
existence d'une fonction
dérivable sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
telle que
et
.
Lemme : Si
est une solution de l'équation différentielle
sous la condition initiale
, alors pour tout réel
on a
. Par suite la fonction
ne s'annule pas sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
.
Démonstration : On pose
. On montre que
h est dérivable sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
et que pour tout réel
on a
. La fonction
est donc constante. Or pour
, on a
, d'où
quel que soit le réel
.
Propriété d'unicité : Si
et
sont solutions de
l'équation de l'équation différentielle
sous la condition initiale
, alors
.
Démonstration : Le quotient
est défini sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
puisque
ne s'annule pas (cf. Lemme) et dérivable sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
comme produit de fonctions dérivables. On montre alors que
pour tout réel
. Donc
![phi](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/phi.gif)
est une fonction constante. Or pour
, on a
, d'où
quel que soit le réel
.
Définition :
On appelle fonction exponentielle, et on note exp, l'unique fonction dérivable sur
solution de l'équation différentielle
et vérifiant la condition initiale
.
On appelle nombre de Neper, et on note e, l'image de 1 par la fonction exponentielle. On a donc : e = exp(1).
2. Propriétés algébriques
Lemme : Pour tout réel
on a :
.
On en déduit que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur
.
Démonstration : on montre que la fonction
est dérivable sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
et que
pour tout réel
; on en déduit que la fonction
est constante ; or pour
on a
.
Théorème :
Pour tous réels
et
on a :
Pour tout réel
et tout entier relatif
n on a :
.
Démonstration :
Pour un réel
quelconque fixé, on montre que la fonction
est dérivable sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
et que
pour tout réel
; on en déduit que la fonction
est constante ; or pour
on a
.
La seconde égalité se démontre d'abord par récurrence sur
![NN](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/NN_.gif)
. On la prolonge à
![ZZ](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/ZZ_.gif)
sachant que
(cf. Lemme).
Notation puissance : La fonction exponentielle prolonge aux réels les règles usuelles des exposants entiers.
Pour tout entier relatif
n on a en effet :
.
On étend la notation puissance à tout réel
:
.
Pour tous réels
et
, on a donc les règles suivantes :
|
|
|
|
|
|
Propriété : Pour tout réel
on a :
.
Démonstration : d'après les propriétés algébriques de la fonction exp on a :
Donc est un réel positif dont le carré est égal à ; c'est donc la racine carrée de .
Le nombre e est un irrationnel, comme
ou
![pi](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/pi.gif)
. Sa valeur exacte c'est e !
Dans un calcul exact, on exprimera donc le résultat en fonction de
e.
Pour un calcul approché, on utilisera
une approximation : e
![approx](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/approx.gif)
2,7182818...
Exercices :
Notation puissance
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (1)
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (2)
3. Variations et Limites
Sens de variation
Par définition, la fonction exponentielle est dérivable sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
et sa fonction dérivée est identique à elle-même.
pour tout réel
, on a
Lemme : La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives :
pour tout réel
, on a
Démonstration : Pour tout réel
on peut écrire
. Or le carré d'un réel est un nombre positif ou nul. Par ailleurs on sait que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
. Donc, la fonction exponentielle est strictement positive sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
.
Thérorème : La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante sur
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
. Elle réalise une bijection de
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
sur
.
Démonstration : conséquence immédiate des deux propriétés précédentes.
Position relative avec la tangente à l'origine
La tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 a pour équation
.
Propriété : La courbe de la fonction exponentielle est entièrement située
au dessus de sa tangente à l'origine :
pour tout réel
, on a
|
|
Démonstration : On étudie le sens de variation de la fonction
et on montre que
![phi](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/phi.gif)
atteint un minimum en
. Or la valeur minimale de
![phi](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/phi.gif)
est 0. Par suite les valeurs
sont toutes positives ou nulles, quel que soit le réel
.
Limites à l'infini
Thérorème :
et
Démonstration :
Limite en : On sait que pour tout réel , . Or donc (théorème de comparaison pour les limites).
Limite en : On sait que pour tout , . Or , donc par inverse . D'où .
La courbe de la fonction exponentielle admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en
.
Croissances comparée entre
et
En
la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite
que les fonctions puissance
.
Théorème (croissance comparée) :
Pour tout entier naturel
,
En
l'exponentielle de
est un infini petit qui l'emporte sur toute puissance entière de
.
Théorème (croissance comparée) :
Pour tout entier naturel
,
On mémorise ces propriétés en disant que " l'exponentielle l'emporte sur
les puissances ".
Courbes respectives sur [-3 , 4] de la fonction exp et de la fonction carré
Exercice :
Choisir des exercices sur les limites.
4. Exponentielle d'une fonction u : composée exp(u)
Soit
une fonction définie et dérivable sur un intervalle
.
La composée
est la fonction définie sur
par :
.
On la note indifféremment
ou
.
Si
est dérivable sur
alors la fonction composée
est dérivable sur
et l'on a la formule de dérivation :
Théorème (dérivée d'une exponentielle) : Si la fonction
est dérivable sur
alors la composée
l'est aussi et :
C'est à dire, pour tout réel
,
.
- Si
est définie sur
par
, alors pour tout réel
, on a
.
-
Exemples (cliquer sur l'icône pour changer les données) :
Soit
la fonction définie sur
par
.
avec
.
est dérivable sur
et, pour tout réel
on a :
.
Exercices :
Calculer la dérivée d'une composée exp(u)
Calculer la limite d'une composée exp(u)
Etude d'une fonction du type \(x \mapsto (a x+b)e^{kx})
Etude d'une fonction du type \(x \mapsto a x+b + e^{kx})
5. Logarithme d'un réel strictement positif
On a vu en 3. que la fonction exponentielle réalise une bijection de
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
sur
. Elle admet donc une bijection réciproque, définie sur
et à valeurs dans
![RR](http://wims.cfai-centre.net/wims/mathfonts/109/RR_.gif)
.
Ainsi, tout réel strictement positif
admet un unique antécédent
par la fonction exponentielle.
On nomme cet antécédent le logarithme népérien de
et
on le note
ou
.
L'équation
, où
, admet une solution unique
.
Définition : On appelle fonction logarithme, et on note
, la bijection réciproque de la fonction exponentielle.
Conséquences immédiates :
La fonction
est définie sur
et prend ses valeurs dans
.
On a :
et
Propriétés : Les fonctions
et
étant bijections réciproques l'une de l'autre on a :
- pour tout réel
,
- pour tout réel
,
- pour tout réel
et pour tout réel
,
-
les courbes respectives des fonctions exp et ln sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la diagonale d'équation
NB : Le logarithme d'un réel strictement négatif n'est pas défini !
Exercice :
Simplifier une expression
6. Equations et inéquations avec exponentielles
Les équations ou inéquations suivantes sont résolvables algébriquement.
Si
, alors
|
Si
, alors
|
Si
, alors l'équation
n'a pas de solution.
|
Si
, alors l'inéquation
n'a pas de solution.
Si
, alors l'inéquation
est toujours vraie.
|
|
|
Exercices :
Résolution guidée d'une inéquation du type \(c*e^{a x+b} > d)
Etude guidée du signe d'une expression du type \((a x+b)*e^{c x+d})
Etude guidée du signe d'une expression du type \(c*e^{a x+b} + d)
Remarque :
En dehors des cas précédents, on ne sait en général pas résoudre une (in)équation avec exponentielle par le calcul algébrique.
On peut parfois, par un changement de variable, se ramener à une équation polynomiale résoluble algébriquement.
Sinon, on utilise une méthode de résolution approchée. En général, on se ramène à résoudre l'équation
. On étudie les variations de la fonction
; on localise les éventuelles solutions en appliquant le théorème de la bijection dans des intervalles bien choisis ; puis on encadre chaque solution à une précision voulue au moyen de la calculatrice...
7. Primitives
7. Primitives
Théorème :
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle
.
La fonction
admet comme primitives toutes les fonctions
où
est une constante réelle, et seulement celles-ci.
Une primitive de
est donc
(pour
)
Exemples (cliquer sur l'icône pour changer les données) :
Soit
la fonction définie sur
par
.
Alors
admet comme primitive la fonction
définie par :
.
Toute autre primitive
de
s'écrit :
où
est une constante réelle.
Exercice :
Primitives d'une exponentielle