Tableaux de signes - Inéquations --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 14 exercices sur les études de signe et la résolution d'inéquations (niveau Seconde, Lycée).

Associer tableau et expressions

De quelle(s) expression(s) le tableau suivant est-il le tableau de signes ?

Il peut y avoir plusieurs réponses ou aucune.

Inéquation particulière

On peut résoudre l'inéquation (I)     sans tableau de signes, car le signe de est évident.

L'ensemble des solutions de l'inéquation (I) est alors :

.

Inéquation avec quotient

Résoudre algébriquement sur l'inéquation (1) :
  1. L'inéquation (1) équivaut à l'inéquation avec et les binômes du premier degré suivants :
    = et = .
    On a montré que résoudre (1) équivaut à résoudre l'inéquation (2) : .
  2. On étudie le signe du quotient en fonction de . On obtient le tableau suivant :
  3. On définit les ensembles suivants : D'après le tableau de signe, l'ensemble des solutions de (1) et (2) est :
    .

Inéquation avec quotient (2)

Résoudre algébriquement sur l'inéquation (1) : .
  1. L'inéquation (1) équivaut à l'inéquation suivante :
    = (forme développée).
    = (forme factorisée).
    On a montré que résoudre (1) équivaut à résoudre l'inéquation (2) :
  2. Faire sur papier libre l'étude des signes du quotient .
    Ensuite, dans la liste suivante, cocher tous les intervalles, dont la réunion est l'ensemble des solutions de l'inéquation (1) :

Inéquation avec quotient (3)

Résoudre algébriquement sur l'inéquation (1) : .
  1. L'inéquation (1) équivaut à l'inéquation (2) suivante :
    avec = (donner la forme développée).
    On a montré que résoudre (1) équivaut à résoudre l'inéquation (2) :     0.
  2. On peut réécrire le numérateur sous forme canonique :

    = = avec .

  3. L'inéquation (1) équivaut donc aussi à l'inéquation (3) :     0.
  4. Que peut-on dire du numérateur ?

  5. On constate que le numérateur ne se factorise pas et garde un signe constant. On constate que le numérateur se factorise en .
  6. Faire sur papier libre l'étude des signes du quotient   .
    Ensuite, dans la liste suivante, cocher tous les intervalles, dont la réunion est l'ensemble des solutions de l'inéquation (1) :

Inéquation évidente

On peut résoudre l'inéquation (I)     sans tableau de signe, car le signe de est évident. L'ensemble des solutions de (I) est alors :

.

Vérifier un tableau de signes (1)

Un élève a dressé le tableau suivant pour étudier le signe de la fonction définie par :
Ce tableau est-il correct ? Sinon, quelle erreur a été commise ?

Vérifier un tableau de signes (2)

Un élève a dressé le tableau suivant pour étudier le signe de la fonction définie par :
A-t-il raison ? Sinon, cochez toutes les erreurs qu'il a commises.

Signe d'un binôme ax+b

Complétez le tableau de signes du binôme du premier degré .

Expression de signe évident

L'expression a un signe évident quel que soit le réel est toujours .

Lecture graphique

La représentation graphique d'une fonction , définie sur = [- ,] [- ,[ cup ] , ] , est donnée dans le repère (O ; I, J) ci-contre. On admet que la fonction ne change pas de sens de variation en dehors du graphique.
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Combien l'équation a-t-elle de solutions dans ?
  2. L'équation n'a aucune solution dans .
  3. Compléter le tableau de signes de
-
  • L'équation n'admet aucune solution dans .
    La fonction n'est pas définie en .
  • Compléter le tableau de signes de - ||
  • L'équation a une unique solution 1 dans .
    La valeur arrondie au dixième de 1 est .
  • Compléter le tableau de signes de - 0
  • L'équation a une unique solution 1 dans . La fonction n'est pas définie en .
    La valeur arrondie au dizième de 1 est : .
  • Compléter le tableau de signes de -   0 ||
  • L'équation a une unique solution 1 dans . La fonction n'est pas définie en .
    La valeur arrondie au dizième de 1 est : .
  • Compléter le tableau de signes de -   || 0
  • L'équation a deux solutions 1 et 2 dans .
    Les valeurs arrondies de 1 et 2 sont respectivement : et .
  • Compléter le tableau de signes de -   0 0
  • L'équation a trois solutions 1, 2 et 3 dans .
    Les valeurs arrondies au dixième de , et sont respectivement : , et .
  • Compléter le tableau de signes de -     0 0 0
    • xrange -, yrange , parallel -,,-,,1,0, 2*+1, grey parallel -,,,,0,1, (-)++1, grey hline 0,0,black vline 0,0,black arrow 0,0,1,0,8, black arrow 0,0,0,1,8, black text black , -0.5,-0.2,small , O text black , 1,-0.3,small , I text black , -0.5,1,small , J linewidth 1.5 plot blue,

    Signe d'un produit ou quotient

    Étudier en fonction de le signe du produit quotient .

    Signe d'une fonction produit ou quotient

    Construire le tableau de signes de la fonction définie sur , pour tout réel tel que , par .

    Signe d'une expression a + u(x)/v(x)

    Étudier en fonction de le signe de l'expression .
    Compléter le tableau ci-dessous.

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    • Description: étude de signes et résolution algébrique d'inéquation (en Seconde). interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games, Pôle Formation CFAI-CENTRE
    • Keywords: CFAI,interactive math, server side interactivity, algebra,, inequations,sign,factorization,roots,