Algorithme avec Python --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 20 activités sur les algorithmes. Le but de l'ensemble des exercices est de permettre aux élèves d'apréhender les algorithmes relatifs au Lycée Général et Technologique. Un script python à compléter permet de comprendre l'algorithme. Pour aider les élèves, une représentation graphique vient illustrer le fonctionnement du code. Le but est de travailler de concert dans des cadres algébriques, graphiques et algorithmiques afin de maîtriser la notion abordée.

Méthode par balayage classique (guidée)

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Étape

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de à . Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.

Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur arrondie de à ?

La valeur arrondie à est donc

Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre ou . Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.
Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de .

Méthode par balayage avec seuil (guidée)

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Étape

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à

Représentation graphique de la courbe et de la droite d'équation
Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, déterminer un encadrement de à . Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.

Est-il nécessaire de poursuivre pour déterminer une valeur arrondie de à ?

La valeur arrondie à est donc

Le nombre d'informations n'est pas suffisant pour trancher entre ou . Par conséquent il est nécessaire de faire au moins une étape supplémentaire pour être plus précis.
Le nombre d'informations est suffisant donc la valeur de .

Méthode par balayage classique

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Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à et de la droite d'équation

Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de à . Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.

La valeur arrondie à est donc

Méthode par balayage avec seuil

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Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à et de la droite d'équation

Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de à . Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.

La valeur arrondie à est donc

Méthode par balayage avec une fonction 1

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Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à et de la droite d'équation

Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de à . Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.

La valeur arrondie à est donc

Méthode par balayage avec une fonction 2

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Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à et de la droite d'équation

Conclusion :
À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, indiquer l'encadrement permettant de déterminer la valeur arrondie de à . Les valeurs des images doivent être arrondies au millième.

La valeur arrondie à est donc

Construction de la courbe par la méthode de balayage en utilisant une boucle for

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Soit un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle en sous-intervalles :
  • Soit et deux nombres réels définis tels que .
  • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
  • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index

Méthode par dichotomie

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Compléter l'algorithme afin de trouver un encadrement de à et de la droite d'équation

Conclusion :

À l'aide des résultats numériques et graphiques effectués par l'algorithme, la valeur arrondie à de est donc

.

Équation cartésienne d'une droite

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Déterminer une équation cartésienne de la droite est :

Équation réduite d'une droite 1

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Déterminer une équation réduite de la droite lorsque les coordonnées de 2 points et sont connues :
Pour écrire correctement , taper x_A . Pour écrire correctement , taper y_A ...
  • Déterminer la valeur du coefficient directeur sous forme fractionnaire si nécessaire :
  • À l'aide des calculs précédents, déduire l'équation réduite de la droite :
  • Le point ou appartient à la droite donc on peut écrire l'équation suivante :
  • Résoudre l'équation précédente et déterminer la valeur de l'ordonnée à l'origine .
  • En déduire l'équation réduite de la droite

    • Équation réduite d'une droite 2

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    Déterminer une équation réduite de la droite et laisser l'autre champ vide :

    Construction de la courbe par la méthode d'Euler

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    Approximation affine d'une fonction :
    Soit une fonction dérivable sur un intervalle et . La fonction peut être approchée par une fonction affine au voisinage de . L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction au voisinage d’un point par celle d'une fonction affine tangente à la courbe en ce point. Graphiquement on considère que les points et sont confondus lorsque est proche de 0.
    Schéma pour l'approximation affine
    • Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse en fonction de , , et .
      Pour écrire correctement , taper x_0 .
    • Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse en fonction de , , et ?
      Pour proche de zéro,
    • En reconnaissant une fonction de référence, vérifier la validité de cette formule sur l' exemple suivant :
      Pour proche de zéro,
      Arrondir les résultats au millième.
      À l'aide de l'approximation, on a
      La valeur arrondie à est de
    Application à la fonction exponentielle :
    La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe de la fonction en utilisant l'approximation affine.
    Méthode d'Euler
    • À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée du point en fonction de la fonction et de .
    • En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
    • En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
    • Généraliser cette écriture en exprimant en fonction de et .
    • Généraliser l'écriture de en fonction de et .

    Construction de la courbe par la méthode d'Euler 2

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    Approximation affine d'une fonction :
    Soit une fonction dérivable sur un intervalle et . La fonction peut être approchée par une fonction affine au voisinage de . L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction au voisinage d’un point par celle d'une fonction affine tangente à la courbe en ce point. Graphiquement on considère que les points et sont confondus lorsque est proche de 0.
    Schéma pour l'approximation affine
    • Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse en fonction de , , et .
      Pour écrire correctement , taper x_0 .
    • Quelle expression peut-on écrire à l'aide de l'approximation réalisée, de l'équation de tangente au point d'abscisse en fonction de , , et ?
      Pour proche de zéro,
    • En reconnaissant une fonction de référence, vérifier la validité de cette formule sur l' exemple suivant :
      Pour proche de zéro,
      Arrondir les résultats au millième.
      À l'aide de l'approximation, on a
      La valeur arrondie à est de
    Application à la fonction exponentielle :
    La méthode d'Euler consiste à approcher la courbe de la fonction en utilisant l'approximation affine.
    Méthode d'Euler
    • À l'aide de la définition de la fonction exponentielle, déterminer l'ordonnée du point en fonction de la fonction et de .
    • En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
    • En utilisant l'approximation affine, exprimer l'ordonnée du point en fonction de et .
    • Généraliser cette écriture en exprimant en fonction de et .
    • Généraliser l'écriture de en fonction de et .
    • En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de en fonction de et .
    • En ayant pris soin de reconnaitre une suite particulière, déterminer la formule implicite de en fonction de et .
    • En déduire une expression de en fonction de et .

    Méthode de Héron 1

    Tablette Babylonienne
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    ÉTAPE sur 6
    La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.
    ÉtapeLargeurLongeurMoyenne arithmétique
    		 Moyenne arithmétique au carré
    1
    1
    2
    2
    3
    3
    4
    4

    Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :

    • Nommer la figure obtenue :
    • Quelle est l'aire théorique de cette figure ?
    • Quelle est la valeur arrondie à de la distance théorique d'un côté ?
    ٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme
    Afin de vérifier vos conjectures, l'algorithme a été implanté en Python. Compléter le programme pour reproduire l'exemple de traité précédement. Exécuter la fonction en prenant soin de spécifier la précision adéquate. Par exemple, pour une précision souhaitée à , on a alors .
    Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :

    Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable . Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :

    Racine carréPrécisionValeur de la racine Nombre d'itération

    Méthode de Héron 2

    Tablette Babylonienne
    Logo de Python
    ÉTAPE sur 6
    La moyenne arithmétique devient la nouvelle largeur ou longueur.
    ÉtapeLargeurLongeurMoyenne arithmétique
    		 Moyenne arithmétique au carré
    1
    1
    2
    2
    3
    3
    4
    4

    Le rectangle se tansforme progressivement en une figure. Si on réalise une infinité d'étape, conjecturer les solutions :

    • Nommer la figure obtenue :
    • Quelle est l'aire théorique de cette figure ?
    • Quelle est la valeur arrondie à de la distance théorique d'un côté ?
    ٭Modéliser cette suite par récurrence pour calculer
    Compléter le tableau en utilisant les résultats précédents.
    n Moyenne arithmétique
    0
    1
    2
    3
    En déduire la suite définie par récurrence pour calculer .
    L'expresion se rentre "u_n". Par analogie, l'expression se rentre "u_0" ...
    On définit la suite par :
    • le premier terme :
    • la relation de récurrence :
    ٭Étudier graphiquement la convergence de la suite pour calculer
    • On considère la suite définie par la relation de récurrence . Appliquer la relation précédente aux termes suivants :
      • =
      • =
      • =
      Définir la fonction pour étudier cette suite :
    • En modifiant les curseurs du fichier GeoGebra, déterminer :
      Pour modifier finement un curseur, utiliser les flèches du clavier et appuyer simultanément sur la touche "shift".
      • Une valeur approchée de
      • Une valeur approchée de
      • Les changements de la valeur modifient :
      • Les modifications de la valeur ne modifient pas :
      • Quelle que soit la valeur , la suite vers .
    ٭Modéliser la suite à l'aide d'un algorithme
    Afin de vérifier vos conjectures, l'algorithme a été implanté en Python. Compléter le programme pour reproduire l'exemple de traité précédement. Exécuter la fonction en prenant soin de spécifier la précision adéquate. Par exemple, pour une précision souhaitée à , on a alors .
    Le nombre d'itération est de 4 pour une précision minimum de :

    Pour simplifier cet algorithme, on affecte la valeur de départ à la variable . Modifier le programme . Compléter le tableau ci-dessous à l'aide de l'algorithme :

    Racine carréPrécisionValeur de la racine Nombre d'itération

    Méthode des milieux

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    Soit un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle en sous-intervalles :
    • Soit et deux nombres réels définis tels que .
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index
    Après avoir découpé l'intervalle , on utilise la méthode des milieux.
    • Déterminer l'aire du premier rectangle orange en fonction de , et
  • Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des rectangles oranges en fonction de , et

    • Méthode des rectangles

    Logo de Python

    Soit un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle en sous-intervalles :
    • Soit et deux nombres réels définis tels que .
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index
    Après avoir découpé l'intervalle , on utilise la méthode des rectangles. Pour chaque sous-intervalle , on construit un rectangle :
  • Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à gauche des rectangles verts en fonction de , et
  • Déterminer l'aire à droite du premier rectangle rouge en fonction de , et
  • Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire à droite des rectangles rouges en fonction de , et

    • Construction de la courbe par la méthode des sécantes

    Logo de Python

    Soit un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle en sous-intervalles :
    • Soit et deux nombres réels définis tels que .
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index
    On considère deux points et comme le montre la construction ci-dessous.
    Coefficient directeur
    On souhaite relier ces deux points et par une droite d'équation de la forme  .
  • Déterminer l'ordonnée à l'origine de cette droite en sachant que le point appartient à la droite :

    • Construction de la courbe par la méthode des tangentes

    Logo de Python

    Soit un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle en sous-intervalles :
    • Soit et deux nombres réels définis tels que .
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index
    On souhaite construire l'enveloppe des tangentes à la courbe représentative de la fonction . Par conséquent on va construire la tangente associée à chaque point .
    Tangente
  • Soit l'équation réduite de la tangente à la courbe représentant au point . Exprimer le coefficient directeur de la tangente au point en fonction de et de
  • Soit en utilisant l'équation générale de la tangente soit en utilisant le fait que le point appartient à la tangente, déterminer l'ordonnée à l'origine de cette tangente. On l'exprimera à l'aide des fonctions et ainsi que

    • Méthode des trapèzes

    Logo de Python

    Soit un entier naturel non nul. Découpage de l'intervalle en sous-intervalles :
    • Soit et deux nombres réels définis tels que .
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée puis déterminer la longueur d'un intervalle en fonction de , et . En survolant les points à l'aide de la souris, on peut lire leurs coordonnées.
    • Modifier le nombre de sous-intervalles de la figure proposée et déplacer le point . Exprimer la valeur de en fonction de , et de l'index
    Après avoir découpé l'intervalle , on utilise la méthode des trapèzes.
  • Si on découpe l'intervalle en trois parties égales, déterminer l'aire des trapèzes violets en fonction de , et
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